作业帮三角形ABC中,向量m=(sinB+sinc,0),向量 n=(0,sinA)且（m+n)(m-n)=sinBsinC（1）求A； （2）求sinB+sinC的取值范围；
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 08:32:27
三角形ABC中,向量m=(sinB+sinc,0),向量 n=(0,sinA)且（m+n)(m-n)=sinBsinC（1）求A； （2）求sinB+sinC的取值范围；
三角形ABC中,向量m=(sinB+sinc,0),向量 n=(0,sinA)且（m+n)(m-n)=sinBsinC
（1）求A； （2）求sinB+sinC的取值范围；
三角形ABC中,向量m=(sinB+sinc,0),向量 n=(0,sinA)且（m+n)(m-n)=sinBsinC（1）求A； （2）求sinB+sinC的取值范围；
（1）∵(m+n)(m-n)=sinBsinC
∴ m²-n²=sinBsinC
即 (sinB+sinC)²-sin²A=sinBsinC
∴ sin²B+sin²C-sin²A=-sinBsinC
由 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC 和
余弦定理 cosA=(b²+c²-a²)/2bc 得
cosA=(sin²B+sin²C-sin²A)/2sinBsinC
∴ cosA=-sinBsinC/2sinBsinC=-1/2
又 角A为△ABC的内角
∴ A=2π/3
（2）由（1）,可知
B+C=π/3
则 B=π/3-C
∴ sinB+sinC=sin(π/3-C)+sinC
=sinπ/3cosC-cosπ/3sinC+sinC
=sinπ/3cosC+cosπ/3sinC
=sin(C+π/3)
又 C∈(0,π/3)
∴ (C+π/3)∈(π/3,2π/3)
∴ sin(C+π/3)∈(√3/2,1]
∴ sinB+sinC∈(√3/2,1]
因此 sinB+sinC的取值范围为(√3/2,1]
1）由题意，m+n=(sinB+sinC,sinA)，m-n=(sinB+sinC,-sinA),由（m+n)(m-n)=sinBsinC可知，（sinB+sinC)^2-(^2sinA)=sinBsinC
三角形中，A+B+C=π,且A、B、C都是大于0，小于π的角。sinA=sin(π-A）=sin（B+C）
（sinB+sinC)^2-(^2sinA)=(sinB)^2+2s...
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1）由题意，m+n=(sinB+sinC,sinA)，m-n=(sinB+sinC,-sinA),由（m+n)(m-n)=sinBsinC可知，（sinB+sinC)^2-(^2sinA)=sinBsinC
三角形中，A+B+C=π,且A、B、C都是大于0，小于π的角。sinA=sin(π-A）=sin（B+C）
（sinB+sinC)^2-(^2sinA)=(sinB)^2+2sinBsinC+(sinC)^2-(sinBcosC+cosBsinC)^2=(sinB)^2+(sinC)^2+2sinBsinC-((sinBcosC)^2+2sinBcosBsinCcosC+(cosBsinC)^2)=(sinB)^2（1-(cosC)^2)+(sinC)^2(1-(cosB)^2)+2sinBsinC-2sinBsinCcosBcosC=2(sinB)^2(sinC)^2+2sinBsinC-2sinBsinCcosBcosC=sinBsinC
即2sinBsinC+2-2cosBcosC=1,即sinBsinC-cosBcosC=-.5，cos(B+C)=.5，即B+C=π/3,A=π-B-C
=2π/3（由ABC是三角形三角）
2)由1）sinB+sinC=sinB+sin(π/3-B)=sinB+sin(π/3）cosB-cos(π/3)sinB=.5sinB+sin(π/3)cosB=cos(π/3)sinB+sin(π/3)cosB=sin(B+π/3）
又B+C=π/3，0
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