作业帮在三角形ABC中,a,b,c分别代表三个内角A,B,C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)试判断三角形的形状
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 13:12:54
在三角形ABC中,a,b,c分别代表三个内角A,B,C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)试判断三角形的形状
在三角形ABC中,a,b,c分别代表三个内角A,B,C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)
试判断三角形的形状
在三角形ABC中,a,b,c分别代表三个内角A,B,C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)试判断三角形的形状
证明：原式化为 a2[sin（A-B）-sin（A+B）=-b2[sin（A-B）+sin（A+B）],
即 a2[sin（A+B）-sin（A-B）=b2[sin（A-B）+sin（A+B）],
故 2a2cosA•sinB=2b2sinAcosB,由正弦定理可得 sin2AcosA•sinB=2sin2BsinAcosB,
∵0＜B＜π,0＜A＜π,∴sinA≠0,sinB≠0,∴sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,
sin2A-sin2B=0,∴2cos（A+B）•sin（A-B）=0．
当A-B≠0时,∴sin（A-B）≠0,∴cos（A+B）=0,故-cosC=0,∴C=90°,∴△ABC是直角三角形．
当A=B时,∴△ABC是等腰三角形,
∴△ABC为直角三角形或等腰三角形
肯定有等腰三角形的结论，愿意A=B，原式成立。
由正弦定理得：（(sinA)^2+(sinB)^2）sin(A-B)=[(sinA)^2-(sinB)^2]sin(A+B)
展开并化简得：sin2A=sin2B,则A＝B或A+B＝π/2
三角形ABC是直角三角形或等腰三角形
由正弦定理可知 a/sinA=b/sinB=k
则a=ksinA，b=ksinB
代入（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），并把k约分
（sin2A+sin2B）sin（A-B）=（sin2A-sin2B）sin（A+B）
sin2Asin（A-B）+sin2Bsin（A-B）=sin2Asin（A+B）-sin2Bsin（A+B） <...
全部展开
由正弦定理可知 a/sinA=b/sinB=k
则a=ksinA，b=ksinB
代入（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），并把k约分
（sin2A+sin2B）sin（A-B）=（sin2A-sin2B）sin（A+B）
sin2Asin（A-B）+sin2Bsin（A-B）=sin2Asin（A+B）-sin2Bsin（A+B）
sin2A[sin（A+B）-sin（A-B）]=sin2B[sin（A-B）+sin（A+B）]
利用和角公式，整理有
sin2A2cosAsinB=sinB2sinAcosB
sin2A2cosAsinB-sin2B2sinAcosB=0
sinAsinB（2sinAcosA-2sinBcosB）=0
sinAsinB（sin2A-sin2B）=0
sinA＞0，sinB＞0
所以sin2A=sin2B
2A=2B 或2A+2B=180度
A=B或A+B=90度
所以是等腰三角形或直角三角形
收起