若函数f(x)=ln(ae^x-x-3)的定义域为R,则实数a的取值范围是多少

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/07 07:18:50
若函数f(x)=ln(ae^x-x-3)的定义域为R,则实数a的取值范围是多少

若函数f(x)=ln(ae^x-x-3)的定义域为R,则实数a的取值范围是多少
若函数f(x)=ln(ae^x-x-3)的定义域为R,则实数a的取值范围是多少

若函数f(x)=ln(ae^x-x-3)的定义域为R,则实数a的取值范围是多少
答:
f(x)=ln(ae^x-x-3)定义域为R,说明:ae^x-x-3>0在实数范围内恒成立.
令:g(x)=(x+3)/e^x

函数f(x)的定义域为R 即 对于任意x属于R 都有ae^x-x-3>0
显然有a>0
令g(x)=ae^x-x-3 则
g'(x)=ae^x-1
令g'(x)=0 得e^x=1/a 即x=ln(1/a)
显然g'(x)为增函
所以 x x>ln(1/a)...

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函数f(x)的定义域为R 即 对于任意x属于R 都有ae^x-x-3>0
显然有a>0
令g(x)=ae^x-x-3 则
g'(x)=ae^x-1
令g'(x)=0 得e^x=1/a 即x=ln(1/a)
显然g'(x)为增函
所以 x x>ln(1/a)时 g'(x)>0 即g(x) 单调递增
所以g(x)的最小值为g[ln(1/a)] = 1-ln(1/a)-3 = -2-ln(1/a)
g(x)>0恒成立 只须 g(x)的最小值>0 即 -2-ln(1/a)>0 解得a>e²

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