急求化极坐标二重积分的问题

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 22:49:34

急求化极坐标二重积分的问题
急求化极坐标二重积分的问题

急求化极坐标二重积分的问题
∫[0,m] r^2/√(a^2-r^2) dr 令r=2asint , t∈[-π/2,π/2]
=∫[0,arcsinm/a ] r^2/√(4a^2-r^2) dr
=∫[0,arcsinm /a] 2a^2(1-cos2t) dt
=2a^2 [arcsinm/a -sin2(arcsinm/a) /2 ]
m=-2asinθ 注意arcsinm/a的取值范围

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注意题中给出的积分域， -π/4 ≤ θ ≤ 0；
(1) 如果被积函数是纯三角函数，且2π是这些三角函数的周期的整数倍，积分的结果没有问题。
(2) 如果被积函数含有非三角函数的成分，这些成分不是周期函数或其周期与2π没有整数倍的关系，那么积分域的平移，通过简单改变积分上下限是不成立的。例如，被积函数是e^x，我想你是不会这样改写积分限的。
(3) 通过积分过程可以看出，被积函数含有非三角函数成分即 θ*dθ，因此被积函数不是周期函数，对积分限的改写是不能成立的。
(4) 如果你不喜欢负的角度，可以进行变量代换 u=2π+θ，这样就可以得到相同的积分结果，同时避免使用负角度了。

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