作业帮已知f(x)是定义在[-1,1]上的函数,且f(1)=1,f(x)=-f(-x),若m、n∈[-1,1],m+n≠0,f(m)+f(n)/m+n>0.(1)用定义证明f(x)在[-1,1]上是增函数；(2)若f(x)≤t^2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 22:14:02
![已知f(x)是定义在[-1,1]上的函数,且f(1)=1,f(x)=-f(-x),若m、n∈[-1,1],m+n≠0,f(m)+f(n)/m+n>0.(1)用定义证明f(x)在[-1,1]上是增函数；(2)若f(x)≤t^2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的范围.](/uploads/image/z/226903-31-3.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5f%28x%29%E6%98%AF%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9C%A8%5B-1%2C1%5D%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E4%B8%94f%281%29%3D1%2Cf%28x%29%3D-f%28-x%29%2C%E8%8B%A5m%E3%80%81n%E2%88%88%5B-1%2C1%5D%2Cm%2Bn%E2%89%A00%2Cf%28m%29%2Bf%28n%29%2Fm%2Bn%3E0.%281%29%E7%94%A8%E5%AE%9A%E4%B9%89%E8%AF%81%E6%98%8Ef%28x%29%E5%9C%A8%5B-1%2C1%5D%E4%B8%8A%E6%98%AF%E5%A2%9E%E5%87%BD%E6%95%B0%EF%BC%9B%282%29%E8%8B%A5f%28x%29%E2%89%A4t%5E2-2at%2B1%E5%AF%B9%E6%89%80%E6%9C%89x%E2%88%88%5B-1%2C1%5D%2Ca%E2%88%88%5B-1%2C1%5D%E6%81%92%E6%88%90%E7%AB%8B%2C%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0t%E7%9A%84%E8%8C%83%E5%9B%B4.)
已知f(x)是定义在[-1,1]上的函数,且f(1)=1,f(x)=-f(-x),若m、n∈[-1,1],m+n≠0,f(m)+f(n)/m+n>0.(1)用定义证明f(x)在[-1,1]上是增函数；(2)若f(x)≤t^2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的范围.
已知f(x)是定义在[-1,1]上的函数,且f(1)=1,f(x)=-f(-x),若m、n∈[-1,1],m+n≠0,f(m)+f(n)/m+n>0.
(1)用定义证明f(x)在[-1,1]上是增函数；
(2)若f(x)≤t^2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的范围.
已知f(x)是定义在[-1,1]上的函数,且f(1)=1,f(x)=-f(-x),若m、n∈[-1,1],m+n≠0,f(m)+f(n)/m+n>0.(1)用定义证明f(x)在[-1,1]上是增函数；(2)若f(x)≤t^2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的范围.
(1)用定义证明f(x)在[-1,1]上是增函数；
设0≤x10,
[f(x2)-f(x1)]/[x2-x1]>0,
因为x2-x1>0,所以f(x2)-f(x1)>0.
f(x)在[0,1]上是增函数.
f(x)=-f(-x),f(x)是奇函数,所以f(x)在[-1,1]上是增函数.
(2)若f(x)≤t^2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数t的范围.
f(x)≤t^2-2at+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,所以
1=f(1)≤t^2-2at+1对所有a∈[-1,1]恒成立,反之亦然,
特别是对a=-1和a=1成立,即t^2+2t≥0且t^2-2t≥0,t≤-2或t≥2.
反之,若t≤-2或t≥2,则t^2+2t≥0且t^2-2t≥0,
对任何a,-1≤a≤1,注意1+a≥0,1-a≥0,所以有
t^2-2at=(t^2+2t)(1-a)/2+(t^2-2t)(1+a)/2≥0.
总之,实数t的范围是t≤-2或t≥2.