作业帮某数学兴趣小组开展了一次活动,如图1,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上,从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 03:27:29
某数学兴趣小组开展了一次活动,如图1,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上,从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于
某数学兴趣小组开展了一次活动,
如图1,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上,从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线BC于点E．
（1）小敏在线段BC上取一点M,连接AM,旋转中发现：若AD平分∠BAM,则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；
（2）当0°＜α≤45°时,小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．
同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决；小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,连接EF（如图2）
小亮的想法：将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACG,连接EG（如图3）；
小敏继续旋转三角板,在探究中得出当45°＜α＜135°且α≠90°时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立,先请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4）等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立?若成立,给出证明；若不成立,说明理由．
某数学兴趣小组开展了一次活动,如图1,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上,从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于
1）证明：如图1,∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．
∵∠DAE=45°,
∴∠BAD+∠EAC=45°．
∵∠BAD=∠DAM,
∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°,
∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC,
∴∠MAE=∠EAC,即AE平分∠MAC；
（2）选择小颖的方法．
证明：如图2,连接EF．
由折叠可知,∠BAD=∠FAD,AB=AF,BD=DF,
ABDECF（图2）
∵∠BAD=∠FAD,
∴由（1）可知,∠CAE=∠FAE．
在△AEF和△AEC中,
AF=AC∠FAE=∠CAEAE=AE,
∴△AEF≌△AEC（SAS）,
∴CE=FE,∠AFE=∠C=45°．
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．
在Rt△DFE中,DF2+FE2=DE2,
∴BD2+CE2=DE2．
（利用旋转的方法证明相应给分
（3）当135º＜ ＜180º时,等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立.证明如下：
如图,按小颖的方法作图,设AB与EF相交于点G.
∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,
∴AF＝AB,∠AFD＝∠ABC＝45º,∠BAD＝∠FAD.
又∵AC=AB,∴AF＝AC.
又∵∠CAE＝900－∠BAE＝900－（45º－∠BAD）＝45º＋∠BAD＝45º＋∠FAD
＝∠FAE.
在△AEF和△AEC中,∵AF＝ AC,∠FAE＝∠CAE,AE＝AE,
∴△AEF≌△AEC（SAS）.∴CE＝FE,∠AFE＝∠C＝45º.
又∵在△AGF和△BGE中,∠ABC＝∠AFE＝45º,∠AGF＝∠BGE,
∴∠FAG＝∠BEG.
又∵∠FDE＋∠DEF=∠FDE＋∠FAG＝ （∠ADB＋∠DAB）＝ ∠ABC＝90º.
∴∠DFE＝90º.
在Rt△OCE中,DE2＋FE2＝DE2,∴BD2＋CE2＝DE2.
【考点】角平分线的定义,等腰直角三角形的性质,旋转的性质,折叠对称的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,三角形外角性质,三角形内角和定理.
【分析】（1）由角平分线的定义,根据等腰直角三角形和旋转的性质,即可得出结论.
（2）小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC,在Rt△OCE中应用勾股定理而证明.
小亮的方法是将△ABD绕点A逆时针旋转90º得到△ACG,根据旋转的性质用SAS得到
△ACE≌△ACG,从而在Rt△CEG中应用勾股定理而证明.
（3）当135º＜ ＜180º时,等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立.仿（2）证明即可.