作业帮什么是线性递推数列的特征方程啊我看兔子数列的通项推导中有!我想知道上面那个东西是什么啊?为什么F(n)=F(n-1) F(n-2)可以写成X^2=X-1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 23:53:46
什么是线性递推数列的特征方程啊我看兔子数列的通项推导中有!我想知道上面那个东西是什么啊?为什么F(n)=F(n-1) F(n-2)可以写成X^2=X-1
什么是线性递推数列的特征方程啊
我看兔子数列的通项推导中有!我想知道上面那个东西是什么啊?为什么F(n)=F(n-1) F(n-2)可以写成X^2=X-1
什么是线性递推数列的特征方程啊我看兔子数列的通项推导中有!我想知道上面那个东西是什么啊?为什么F(n)=F(n-1) F(n-2)可以写成X^2=X-1
在二阶差分（也叫递推）式a*f(n+2)+b*f(n+1)+c*f(n)=0中,为了求出一阶差分式,我们总希望将原式子变形成f(n+2)-x1*f(n+1)=x2*(f(n+1)-x1*f(n))的形式,因为如果有这样的常数x1,x2使式子成立,那么,数列{f(n+1)-x1*f(n)}就是一个公比为x2的等比数列了. 同时,f(n+2)-x1*f(n+1)=x2*(f(n+1)-x1*f(n))还可写成：f(n+2)-x2*f(n+1)=x1*(f(n+1)-x2*f(n)),也可得到,数列{f(n+1)-x2*f(n)}也是一个公比为x1的等比数列. 这样,就可方便地不求出通项式f(n). 注意到,要将a*f(n+2)+b*f(n+1)+c*f(n)=0写成f(n+2)-x1*f(n+1)=x2*(f(n+1)-x1*f(n)),必定会有x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.利用二次方程根与系数的关系,可知x1,x2恰为ax^2+bx+c=0的两根.可见,差分方程af(n+2)+bf(n+1)+cf(n)=0的通项式与二次方程ax^2+bx+c=0的根具有紧密的联系.我们就将这个二次方程称做差分方程的特征方程. 如,斐波那契数列,它满足f(1)=f(2)=1,f(n+2)=f(n+1)+f(n),那么差分式的特征方程为x^2-x-1=0,解得x1=(1+根号5）/2,x2=(1-根号5)/2,(x1+x2=1,x1*x2=-1). 那么{f(n+1)-x1*f(n)}是等比数列,公比为x2,那么可写出f(n+1)-x1*f(n)=(f(2)-x1*f(1))*x2^(n-1)=(1-x1)*x2^(n-1)=x2^n, 同理还可写出f(n+1)-x2*f(n)=x1^n. 两式相减,就有：(x1-x2)f(n)=x1^n-x2^n, f(n)=(x1^n-x2^n)/(x1-x2)=((1+根号5)^n-(1-根号5)^n)/(2^n*根号5). 线性递推数列的特征方程是求解通项式常用的方法,关键是要掌握要领.