作业帮已知AN是等差数列,BN是等比数列,若对一切N 属于N+都有AN+1/AN=BN,则数列AN的通项公式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 21:14:28
已知AN是等差数列,BN是等比数列,若对一切N 属于N+都有AN+1/AN=BN,则数列AN的通项公式
已知AN是等差数列,BN是等比数列,若对一切N 属于N+都有AN+1/AN=BN,则数列AN的通项公式
已知AN是等差数列,BN是等比数列,若对一切N 属于N+都有AN+1/AN=BN,则数列AN的通项公式
设An=a1+(n-1)d
Bn=b1*q^(n-1)
而：An+1/An=Bn
所以：(A(n+1)-An)+(1/A(n+1) -1/An)=B(n+1)-Bn
d(1 -1/(An*A(n+1))) = Bn*(q-1) -------（1）
当d=0,则：q-1=0,q=1,则：An=a1,Bn=b1,只要能满足a1+1/a1=b1,
则：数列An的通项就是：An=a1,即为常数列
而当d不等于0
则：只要n足够大,随着n的增大,(1)式的左边的值将趋近于d,也就是会趋近于一个不等于零的常量,这就要求,(1)式的右边也要趋近于一个不等于零的常量,所以,只能Bn为常量,所以q=1,
这样,(1)式的右边就等于零了,矛盾.
所以：d不等于0是不成立的
综合以上：
数列An的通项公式为：An=a1,并且满足a1+1/a1=b1
a(n+1)/an=bn?
(an+d)/an=b1q^(n-1)
an+d=anb1q^(n-1)
a(n-1)+d=a(n-1)b1q^(n-2)
相减：
d=anb1q^(n-1)-a(n-1)b1q^(n-2)
=anb1q^(n-1)-(an-d)b1q^(n-2)
=anb1q^(n-1)-anb1q^(n-2)+db1q^(n-...
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a(n+1)/an=bn?
(an+d)/an=b1q^(n-1)
an+d=anb1q^(n-1)
a(n-1)+d=a(n-1)b1q^(n-2)
相减：
d=anb1q^(n-1)-a(n-1)b1q^(n-2)
=anb1q^(n-1)-(an-d)b1q^(n-2)
=anb1q^(n-1)-anb1q^(n-2)+db1q^(n-2)
d=anb1q^(n-1)-anb1q^(n-2)+db1q^(n-2)
d[1-b1q^(n-2)]=anb1(q-1)q^(n-2)
an≠0，bn≠0，q≠0，
要使其恒等，只有
1-b1q^(n-2)=q-1=0
q=1,b1=1
所以bn=1
a(n+1)/an=bn=1
an=k(常数)
收起
简单地说：因为函数f（x）=x+1/x只是一个对勾函数，即使x均匀变化（即△x恒定），f（x）也不会呈规律性变化的，故Bn应为常数数列才可能是等比数列，从而An亦为等差数列中的常数数列。。。