作业帮证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和的两倍
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 02:36:42
证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和的两倍
证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和的两倍
证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和的两倍
高中证法：
用向量来证最简单,只需3步,而且不用作任何辅助线.（以下的量均表示向量,那个箭头打不出来）
证明：平行四边形ABCD中AC＝DC－DABD＝DA＋DC
所以 AC^2＋BD^2＝（DC－DA）^2＋（DA＋DC）^2
＝DC^2＋DA^2－2DC*DA＋DC^2＋DA^2＋2DC*DA
＝AB^2＋BC^2＋CD^2＋DA^2
得证
初中证明方法
证明：如图
过A,D两点做BC边的高,垂足分别为E、F
则易知△ABE≌△DCF
BE=CF,AE=DF
利用勾股定理得
BD²=BF²+DF²
BD²=（BC+CF）²+DF²
=BC²+2*BC*CF+CF²+DF²
AC²=AE²+CE²
=AE²+（BC-BE）²
=AE²+BC²-2*BC*BE+BE²
所以BD²+AC²=（BC²+2*BC*CF+CF²+DF²）+（AE²+BC²-2*BC*BE+BE²）
=2*BC²+2（CF²+DF²）
=2*BC²+2*CD²
=BC²+AD²+AB²+CD²
即
BD²+AC²=BC²+AD²+AB²+CD²
余弦定理：
设平行四边形ABCD，两对角线为AC和BD，则BC=AD，AB=CD，
角B+角C=180度，则cosB=-cosC
则AC^2=AB ^2+BC^2-2AB×BC×cosB，BD^2=BC^2+CD^2-2BC×CD×cosC
则AC^2+BD^2=AB ^2+BC^2-2AB×BC×cosB+BC^2+CD^2-2BC×CD×cosC=AB^2+BC...
全部展开
余弦定理：
设平行四边形ABCD，两对角线为AC和BD，则BC=AD，AB=CD，
角B+角C=180度，则cosB=-cosC
则AC^2=AB ^2+BC^2-2AB×BC×cosB，BD^2=BC^2+CD^2-2BC×CD×cosC
则AC^2+BD^2=AB ^2+BC^2-2AB×BC×cosB+BC^2+CD^2-2BC×CD×cosC=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2+2BC×CD×cosC-2BC×CD×cosC
=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2
收起