初三数学（三角形证明题）如图,在三角形ABC中,已知AD垂直于BC于点D,CD=AB+BD,角ABC的平分线交AC于点E,求证：点E恰好在BC的垂直平分线上.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 11:11:47

初三数学（三角形证明题）如图,在三角形ABC中,已知AD垂直于BC于点D,CD=AB+BD,角ABC的平分线交AC于点E,求证：点E恰好在BC的垂直平分线上.
初三数学（三角形证明题）
如图,在三角形ABC中,已知AD垂直于BC于点D,CD=AB+BD,角ABC的平分线交AC于点E,求证：点E恰好在BC的垂直平分线上.

如图.F为CD上一点,FD＝BD.

则三角形ADB与三角行ADF全等.

--> AF＝AB.

角AFB＝角ABF＝2x角EBC

CD＝CF＋FD

CD＝AB＋BD

所以,AB＝CF.

于是AF＝CF,三角形FAC为等腰三角形.

角FAC＝角ACF.

--> 角AFB＝角FAC+角ACF = 2x角ACF

所以角EBC=角ACF.

三角形EBC为等腰三角形, EB＝EC.

因此点E在BC的垂直平分线上.

在CD上截取DF,使DF=BD
又因为AD⊥BF
∴AB=AF
∴∠ABF=∠AFB,
∵CD=AB+BD
∴CD-DF=CD-BD即CF=AB
∴CF=AF则∠FAC=∠C
∵∠AFB=∠FAC+∠C
∴∠AFB=2∠C
又因为∠AFB=2∠EBC
所以BE=CE
所以点E恰好在BC的垂直平分线上

画个图.

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