作业帮高数无穷大与无穷小问题lim(x->0)tanx/(x^3+3x) 解答中有一步是这样的 x^3+3x~3x 我知道等价无穷小可以替换但是 这个替换我不明白是怎么来的 书上给的固定的等价无穷小的替换 貌似并不能解决所
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 11:47:13
高数无穷大与无穷小问题lim(x->0)tanx/(x^3+3x) 解答中有一步是这样的 x^3+3x~3x 我知道等价无穷小可以替换但是 这个替换我不明白是怎么来的 书上给的固定的等价无穷小的替换 貌似并不能解决所
高数无穷大与无穷小问题
lim(x->0)tanx/(x^3+3x) 解答中有一步是这样的 x^3+3x~3x 我知道等价无穷小可以替换但是 这个替换我不明白是怎么来的 书上给的固定的等价无穷小的替换 貌似并不能解决所有的题目 如何下手
高数无穷大与无穷小问题lim(x->0)tanx/(x^3+3x) 解答中有一步是这样的 x^3+3x~3x 我知道等价无穷小可以替换但是 这个替换我不明白是怎么来的 书上给的固定的等价无穷小的替换 貌似并不能解决所
这里是把式子化成x(x^2+3) 这里x^2+3是极限的一个整体 把x=0带入得3 所以对整体就是3x
因为x^3在x->0时是3x的高阶无穷小，所以可以由3x替换。
事实上还是求极限：
lim(x->0) (x^3+3x)/3x
= lim(x->0) (x²/3 +1)
=0+1
=1
因此说 x^3+3x~3x
同样在本题中有 tanx~x
我来告诉你 喵~
这个实际上用到极限的乘法：lim(x->0)tanx/(x^3+3x) = lim(x->0)tanx/3x · lim(x->0)3x/(x^3+3x)。因为等式右边两个极限都存在，所以该式成立。你所说的等价无穷小替换，意思就是lim(x->0)3x/(x^3+3x) = 1，因此lim(x->0)tanx/(x^3+3x) = lim(x->0)tanx/3x = 1...
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我来告诉你 喵~
这个实际上用到极限的乘法：lim(x->0)tanx/(x^3+3x) = lim(x->0)tanx/3x · lim(x->0)3x/(x^3+3x)。因为等式右边两个极限都存在，所以该式成立。你所说的等价无穷小替换，意思就是lim(x->0)3x/(x^3+3x) = 1，因此lim(x->0)tanx/(x^3+3x) = lim(x->0)tanx/3x = 1/3. 这是等价无穷小替换的本质。
不适用的情况，当然很多。例如lim(x->0)ln(x+1)/x，从等价替换的本质出发，不能将x+1~x代入ln(x+1)中。因为lim(x->0)ln(x+1)/x = lim(x->0)lnx/x · lim(x->0)ln(x+1)/lnx，而lim(x->0)lnx/x不存在，且lim(x->0)ln(x+1)/lnx ≠ 1.
希望对你有帮助 嗷~~ ！
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