作业帮复数 4：X^2＋aX＋b＝0(a,b∈R)的两个虚根为α,β,X^2-aX＋b＝0(a,b∈R)的两个虚根为1∕(α^2)和1∕（β^2),求α,β,a,b,的值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 11:29:05
复数 4：X^2＋aX＋b＝0(a,b∈R)的两个虚根为α,β,X^2-aX＋b＝0(a,b∈R)的两个虚根为1∕(α^2)和1∕（β^2),求α,β,a,b,的值.
复数
4：X^2＋aX＋b＝0(a,b∈R)的两个虚根为α,β,X^2-aX＋b＝0(a,b∈R)的两个虚根为1∕(α^2)和1∕（β^2),求α,β,a,b,的值.
复数 4：X^2＋aX＋b＝0(a,b∈R)的两个虚根为α,β,X^2-aX＋b＝0(a,b∈R)的两个虚根为1∕(α^2)和1∕（β^2),求α,β,a,b,的值.
实系数方程,所以两根是共轭虚数
设为m+ni,m-ni
所以m+ni+m-ni=-a
a=-2m
相乘=m²+n²=b
而1/(m+ni)²+1/(m-ni)²=a
通分整理
2(m²-n²)/(m²+n²)²=a=-2m
1/(m+ni)²*1/(m-ni)²=b
1/(m²+n²)²=b=m²+n²
所以(m²+n²)³=1
m²+n²=1
代入2(m²-n²)/(m²+n²)²=-2m
m²-n²=-m
联立m²+n²=1
相加
2m²+m-1=0
m=-1,m=1/2
则n=0,n=±√3/2
虚根n≠0
所以
α=(1+i√3)/2,β=(1-i√3)/2
a=-(α+β)=-1
b=αβ=1
α和β可以互换
先求α，β，很容易得出如下两个方程
一，-(α+β)=1∕(α^2)+1∕（β^2)
二，αβ=1∕(α^2)*1∕（β^2)
联立这两个可解得α，β
具体不好写，自己求吧，不难，但要注意第二个式子等价于（αβ）^3=1，这里用的妙些可以降次，从而简化计算过程。
前面的求出来后a，b就简单了。...
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先求α，β，很容易得出如下两个方程
一，-(α+β)=1∕(α^2)+1∕（β^2)
二，αβ=1∕(α^2)*1∕（β^2)
联立这两个可解得α，β
具体不好写，自己求吧，不难，但要注意第二个式子等价于（αβ）^3=1，这里用的妙些可以降次，从而简化计算过程。
前面的求出来后a，b就简单了。
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