作业帮用3个相同的圆完全覆盖边长为1的正方形,最小半径为多少?请附上解析过程.(标准答案为根号65/16)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 06:38:40
用3个相同的圆完全覆盖边长为1的正方形,最小半径为多少?请附上解析过程.(标准答案为根号65/16)
用3个相同的圆完全覆盖边长为1的正方形,最小半径为多少?
请附上解析过程.(标准答案为根号65/16)
用3个相同的圆完全覆盖边长为1的正方形,最小半径为多少?请附上解析过程.(标准答案为根号65/16)
思路分析 我们先构造出复盖正方形的三个等圆,再进行计算．
为使复盖单位正方形的三个圆半径最小,当然应使其中的一个圆盖住正方形相邻的两个顶点(设为A、B),且圆心E在AB的中垂线MF上,如图15－5所示．则⊙E可复盖住矩形ABHG．而其余的两圆应分别恰好复盖住矩形NGDM和矩形NHCM,圆心应分别在MG、MH上,为使三个圆的半径最小,应满足AH= MH=MG．设EF＝x,则
AH=√1+(2X)^2
MG=√(1/2)^2+(1-2X)^2
由√1+(2X)^2=√(1/2)^2+(1-2X)^2
解得x=1/16
所以AE=√(1/2)^2+X^2=√65/16
65/16
0.5
如图所示
设所求圆的半径为R
因为AB=0.5,所以AD=2*√[R^2-(0.5/2)^2]
DE=1-AD
从第三个圆看，它的一个弦长为1，另一个弦为DE
DE=2*√[R^2-(1/2)^2]
所以有：
2*√[R^2-(1/2)^2]=1-2*√[R^2-(0.5/2)^2]
√[4R^2-1]=1-√[4R^2-0.25]<...
全部展开
如图所示
设所求圆的半径为R
因为AB=0.5,所以AD=2*√[R^2-(0.5/2)^2]
DE=1-AD
从第三个圆看，它的一个弦长为1，另一个弦为DE
DE=2*√[R^2-(1/2)^2]
所以有：
2*√[R^2-(1/2)^2]=1-2*√[R^2-(0.5/2)^2]
√[4R^2-1]=1-√[4R^2-0.25]
两边平方得：4R^2-1=1+4R^2-0.25-2√[4R^2-0.25]
2√[4R^2-0.25]=1.75
两边平方得：
4R^2-1/4=(7/8)^2
4R^2=65/64
R^2=65/256
R=√65/16
收起
1、根号65/16的这个答案是错的，因为这个结果约等于2，一个半径为2的圆是完全可以覆盖边长为1的正方形，所以结果不对。
2、我是通过自己检验，觉得半径至少要1/2