已知X1+x2+X2+...+Xn=1,证明不等式：X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.+Xn^2/(Xn+X1)>=1/2X1、X2、X3、...、Xn是正数

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 16:08:11

已知X1+x2+X2+...+Xn=1,证明不等式：X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.+Xn^2/(Xn+X1)>=1/2X1、X2、X3、...、Xn是正数
已知X1+x2+X2+...+Xn=1,证明不等式：X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.+Xn^2/(Xn+X1)>=1/2
X1、X2、X3、...、Xn是正数

已知X1+x2+X2+...+Xn=1,证明不等式：X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.+Xn^2/(Xn+X1)>=1/2X1、X2、X3、...、Xn是正数
解答如下:
证法一：均值不等式.
X1^2/（X1+X2）+（X1+X2）/4≥2根号[X1^2/（X1+X2）×（X1+X2）/4]=X1
X2^2/（X2+X3）+（X2+X3）/4≥2根号[X2^2/（X2+X3）×（X2+X3）/4]=X2
……
Xn^2/（Xn+X1）+（Xn+X1）/4≥2根号[Xn^2/（Xn+X1）×（Xn+X1）/4]=Xn
将上述n个不等式分别两边相加,得
X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.+Xn^2/(Xn+X1)+（X1+X2+X3+...+Xn）/2≥X1+X2+X3+...+Xn,即
X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.+Xn^2/(Xn+X1)≥（X1+X2+X3+...+Xn）/2=1/2,得证.
证法二：柯西不等式.
(a1^2+a2^2+.+an^2)×(b1^2+b2^2+.+bn^2)≥(a1×b1+a2×b2+.+an×bn)^2
只要取a1=X1/根号（X1+X2）,a2=X2/根号(X2+X3),……,an=Xn/根号(Xn+X1),b1=根号（X1+X2）,b2=根号(X2+X3),……,bn=根号(Xn+X1),再用条件X1+X2+X3+...+Xn=1即得证.

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xu_xingwei 的答案已经很不错了，我提供另外一种解法：
记 A = X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.....+Xn^2/(Xn+X1)
B = X2^2/（X1+X2）+X3^2/(X2+X3)+X4^2/(X3+X4)+.....+X1^2/(Xn+X1)
则有
A+B = （X1^2+X2^2)/（X1+X2）+(X2^2+X3^2)/(X2+X3)+(X3^2+X4^2)/(X3+X4)+.....+(Xn^2+X1^2)/(Xn+X1)
A-B = ... = (X1+X2)(X1-X2)/(X1+X2)+ (X2+X3)(X2-X3)/(X2+X3)+...(Xn+X1)(Xn-X1)/(Xn+X1) = .. = 0
注意到 X1^2+X2^2 ≥ (X1+X2)^2/2 (这个容易验证，两边想减就OK)
....
从而可得 A+B ≥ (X1+X2)/2 + (X2+X3)/2+...+(Xn+X1)/2 = 1
所以A = （A+B)/2 ≥ 1/2

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1。有a^2+b^2>=2根号ab
得X1^2/（X1+X2）+（X1+X2）/4≥2根号[X1^2/（X1+X2）×（X1+X2）/4]=X1
X2^2/（X2+X3）+（X2+X3）/4≥2根号[X2^2/（X2+X3）×（X2+X3）/4]=X2
……
Xn^2/（Xn+X1）+（Xn+X1）/4≥2根号[Xn^2/（Xn+X1）×（Xn+X1）/4]=Xn
将上述n个不等式分别两边相加，得
X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.....+Xn^2/(Xn+X1)+（X1+X2+X3+...+Xn）/2≥X1+X2+X3+...+Xn，即
X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.....+Xn^2/(Xn+X1)≥（X1+X2+X3+...+Xn）/2=1/2，得证。
2。有a^2+b^2>=2根号ab且X1、X2、X3、...、Xn是正数
只要取a1=X1/根号（X1+X2），a2=X2/根号(X2+X3)，……，an=Xn/根号(Xn+X1)，b1=根号（X1+X2），b2=根号(X2+X3)，……，bn=根号(Xn+X1)，由a1^2+b1^2>=2根号ab代入得X1^2/（X1+X2）+（X1+X2）》=2x1同理可得....Xn^2/(Xn+X1)+（Xn+X1)>=2xn将n个不等式分别两边相加，得X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.....+Xn^2/(Xn+X1)+（X1+x2+X2+...+Xn）>=2（X1+x2+X2+...+Xn）
由X1+x2+X2+...+Xn=1
得证

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1,x1,x2...Xn,成等比数列,x1 x2..xn>0,x1*x2*...xn=?x1,x2...Xn,2成等比数列,x1 x2..xn>0,x1*x2*...xn=? 已知X1+x2+X2+...+Xn=1,证明不等式：X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.+Xn^2/(Xn+X1)>=1/2X1、X2、X3、...、Xn是正数设x1,x2,x3.xn都是正数,求证:x1^2/x2+x2^2/x2+.+xn-1^2/xn+xn^2/x1>=x1+x2+x3+.+xn. 已知x1、x2、xn∈(0,+∞),求证:x1^2/x2+x2^2/x3+…+xn-1^2/xn+xn^2/x1≥x1+x2+…+xn 已知X1*X2*X3*…*Xn=1,且X1*X2*X3*…*Xn是正数 ,求证(1+X1)(1+X2)…(1+Xn)>=2^n X2/X1(X1+X2)+X3/(X1+X2)(X1+X2+X3)+.Xn/（x1+x2+...Xn-1)(X1+X2...+Xn）如何解柯西不等式已知X1,X2,...Xn是正数求证：（X1+X2+..=Xn）(1/X1+1/X2+...+Xn）小于等于N^2 已知 x1 x2..xn均为整数求证:x2/√x1+x3/√x2+...xn/√xn-1+x1/√xn≥√x1+√x2+. 设x1,x2,.,xn为正整数.求证（x1+x2+.xn）（1/x1+1/x2+.1/xn)>=n平方已知X1+x2+X2+...+Xn=1,证明不等式：X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.+Xn^2/(Xn+X1)>=1/2 Xi>=0,X1+X2...+Xn=1,n>=2,求证X1X2(X1+X2)+...+X1Xn(X1+Xn)+X2X3(X2+X3)...Xn-1Xn(Xn-1+Xn) 不等式证明求解已知:正数x1,x2,x3……xn 满足x1+x2+x3+……+xn=1已知:正数x1,x2,x3……xn 满足x1+x2+x3+……+xn=1求证:1/(x1*(1-x1^3)+1/(x2*(1-x2^3)+1/(x3*(1-x3^3)+……+1/(xn*(1-xn^3)>4 已知X1,X2...Xn中每一个数只能取-2,0,1中的一个,且满足 X1+X2+...+Xn=-10……已知X1,X2...Xn中每一个数只能取-2,0,1中的一个,且满足 X1+X2+...+Xn=-10,X1²+X2²+...+Xn²=32.则 X1的3次方+X2的3次方+...+Xn的已知数列{xn}满足x1=3,x2=x1/2,...,xn=1/2(xn-1+xn-2),n=3,4,...,则xn等于 1,x1,x2,...xn,2 成等差数列,则x1+x2...+xn=?若成等比数列且x1...xn>0,则x1*x2*.xn=?要具体过程,谢谢 x1,x2,...,xn属于R+,证明:1/x1+1/x2+...+1/xn>=2(1/(x1+x2)+1/(x2+x3)+...+1/(xn+x1)) 向量中x1+x2+x3+…+xn=1 则x1,x2,...,xn线性相关吗已知X1X2…Xn=1,且X1,X2…Xn都是正数,证:(1+X1)(1+X2)...(1+Xn)>=2^n