作业帮证明题,证明存在,不难
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 02:14:26
证明题,证明存在,不难
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证明题,证明存在,不难
郭敦顒回答：
∵（a,b）连续,a＜x1＜x2＜…＜xn＜b,（x1,x2,…,xn）∈x
则[x1,xn] ⊂（a,b）,∴[x1,xn]连续,
在f（x1）,f（x2）,…,f（x n）中,存在max f（x）=p,min f（x）= q,
则q≤（f（x1）,f（x2）,…,f（x n））≤p
∴q≤[f（x1）+f（x2）+…+f（x n）]/ n≤p
按照中值定理在区间[x1,xn]内存在点ζ,使得
f（ζ）=[f（x1）+f（x2）+…+f（x n）]/ n.
因为f(x)在(a,b)上连续，所以，f(x)在[x1,xn]上必有值域 [c,d]，
且，对任意 c≤g≤d
在[x1,xn]上，必存在 h，使f(h)=g，这个是连续的性质，不需要证明
所以，设定，因为 f(x1)、f(x2)、……f(xn)均在值域 [c,d]范围内，所以，
平均值 k 必然有 c≤k≤d
所以……...
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因为f(x)在(a,b)上连续，所以，f(x)在[x1,xn]上必有值域 [c,d]，
且，对任意 c≤g≤d
在[x1,xn]上，必存在 h，使f(h)=g，这个是连续的性质，不需要证明
所以，设定，因为 f(x1)、f(x2)、……f(xn)均在值域 [c,d]范围内，所以，
平均值 k 必然有 c≤k≤d
所以……
收起
考察一系列的函数值f(x1)，f(x2)...f(xn)，记其中最大值=p，最小值=q，则
nq≤f(x1)+f(x2)+...+f(xn)≤np，即q≤[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]/n≤p，根据连续函数的介值定理，f(x)可以取到介于最大值p和最小值q之间的任意值，所以存在ζ，使f(η)=[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]/n
很简单，关键在于不妨设f（Xi）最大，f（Xj）最小，，然后把证明结论中的等号改为减号，设为函数F(X)。则F(Xi)》0.F(Xj)《0，故存在