作业帮数学归纳法题证明：1+1/2+1/3+……+1/(2^n-1)>n/2 用数学归纳法.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 15:33:33
数学归纳法题证明：1+1/2+1/3+……+1/(2^n-1)>n/2 用数学归纳法.
数学归纳法题
证明：1+1/2+1/3+……+1/(2^n-1)>n/2
用数学归纳法.
数学归纳法题证明：1+1/2+1/3+……+1/(2^n-1)>n/2 用数学归纳法.
证明1+1/2+1/3+……+1/(2^n-1)>n/2
当n=1时,显然成立
假设当n时,原命题成立
那么当n+1时
1+1/2+1/3+……+1/(2^（n+1）-1）
>n/2+1/2^n+……+1/(2^（n+1）-1）
>n/2+2^n*(1/(2^（n+1）-1）)
>n/2+2^n/(2^(n+1))
=n/2+1/2=(n+1)/2
所以,原命题成立
1+1/2+1/3+……+1/(2^n-1)>n/2
当N=1时候
等式=1>1/2明显成立
假设N=K的时候等式成立
1+1/2+1/3+……+1/(2^k-1)>k/2
那么当N=K+1的时候
1+1/2+1/3+……+1/(2^K-1)+1/(2^K)>K/2+1/(2^K)(关于那个通式,我有点疑问,卡住了!)
当n=1时,显然1>1/2,不等式成立;
n=2时1+1/2>1,显然成立;
假设n=k时成立,即1+1/2+1/3+...+1/(2^k-1)>k/2;
当n=k+1时,1+1/2+1/3+...1/(2^k-1)+1/(2^k)+...+1/(2^(k+1)-1)
>n/2+ 1/(2^k)+1/(2^k+1)+...+1/(2^(k+1)-...
全部展开
当n=1时,显然1>1/2,不等式成立;
n=2时1+1/2>1,显然成立;
假设n=k时成立,即1+1/2+1/3+...+1/(2^k-1)>k/2;
当n=k+1时,1+1/2+1/3+...1/(2^k-1)+1/(2^k)+...+1/(2^(k+1)-1)
>n/2+ 1/(2^k)+1/(2^k+1)+...+1/(2^(k+1)-1)
>2/n+2^n*(1/2^(k+1)-1)
>2/n+2^n/2^(k+1)
>2/n+1/2
>(n+1)/2
所以不等式成立,即证.
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