导数求最值的实际应用问题欲建一个面积为288㎡ 的矩形堆料场.一边可以利用原有的墙壁,其它三面墙壁新建.问堆料场的长和宽各为多少时,才能使建堆料场所用材料最省?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/11 20:06:40
导数求最值的实际应用问题欲建一个面积为288㎡ 的矩形堆料场.一边可以利用原有的墙壁,其它三面墙壁新建.问堆料场的长和宽各为多少时,才能使建堆料场所用材料最省?

导数求最值的实际应用问题欲建一个面积为288㎡ 的矩形堆料场.一边可以利用原有的墙壁,其它三面墙壁新建.问堆料场的长和宽各为多少时,才能使建堆料场所用材料最省?
导数求最值的实际应用问题
欲建一个面积为288㎡ 的矩形堆料场.一边可以利用原有的墙壁,其它三面墙壁新建.问堆料场的长和宽各为多少时,才能使建堆料场所用材料最省?

导数求最值的实际应用问题欲建一个面积为288㎡ 的矩形堆料场.一边可以利用原有的墙壁,其它三面墙壁新建.问堆料场的长和宽各为多少时,才能使建堆料场所用材料最省?
解答:
设堆料场的长为x,则宽为288/x
如果堆料场的新建围墙的长度最短的话,设新建围墙总长度为L.
L = x + 576/x
dL/dx = 1 - 576/x²
令 dL/dx = 0
得 x = 24
d²L/dx² = 1152/x³ > 0
So, Lmin = 24 + 576/24 = 48
答:堆料场的长为24m,宽为12m(288/24 = 12)时,所用材料最省.

设长=a,宽=b
a*b=288(保证面积)
y=a+2b(y越小,成本越低)
令y'=-288/b2+2=0
解得:b=12,a=24

列方程,求一次导,令其为零,得长24
求二次导,得知最省。
答案:长24m,宽12m。

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