作业帮数学问题.关于导函数的利用函数的单调性,证明下列不等式（1）x - x^2 > 0,x属于(0,1) （2）e^x >1+x,x不等于0(3)In x
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 23:08:52
数学问题.关于导函数的利用函数的单调性,证明下列不等式（1）x - x^2 > 0,x属于(0,1) （2）e^x >1+x,x不等于0(3)In x
数学问题.关于导函数的
利用函数的单调性,证明下列不等式
（1）x - x^2 > 0,x属于(0,1) （2）e^x >1+x,x不等于0
(3)In x
数学问题.关于导函数的利用函数的单调性,证明下列不等式（1）x - x^2 > 0,x属于(0,1) （2）e^x >1+x,x不等于0(3)In x
(1)f(x) = x - x^2
f'(x) = 1 - 2x
0 < x < 1/2,f'(x) > 0.f(x)单调递增.f(x) > f(0) = 0
1/2 < x < 1,f'(x) < 0.f(x)单调递减.f(x) > f(1) = 0
所以,0 < x < 1时,总有f(x) = x - x^2 > 0
(2) g(x) = e^x - x - 1
g'(x) = e^x - 1,
x < 0,g'(x) < 0.g(x)单调递减.g(x) > g(0) = 0.
x > 0,g'(x) > 0.g(x)单调递增.g(x) > g(0) = 0.
所以,当x不等于0时,总有g(x) = e^x - x - 1 > 0,e^x > 1 + x.
(3) h(x) = x - lnx,f(x) = e^x - x,x > 0.
h'(x) = 1 - 1/x,f'(x) = e^x - 1 > 0.f(x)在x>0时单调递增.f(x)>f(0)=1 > 0
0 < x < 1时,h'(x)h(1) = 1 > 0.
1 < x 时,h'(x)>0,h(x)单调递增.h(x)>h(1) = 1 > 0.
所以,x>0时,总有f(x) = e^x - x > 0,h（x) = x - lnx > 0.
也即,
lnx < x < e^x.