什么是傅里叶函数

什么是傅里叶函数
什么是傅里叶函数

什么是傅里叶函数
法国数学家傅里叶发现,任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的）,后世称为傅里叶级数(法文：série de Fourier,或译为傅里叶级数)一种特殊的三角级数.
目录
傅里叶级数
傅里叶级数的公式
傅里叶级数的收敛性
三角函数族的正交性
奇函数和偶函数
广义傅里叶级数
编辑本段傅里叶级数
　　Fourier series 　　一种特殊的三角级数.法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出.从而极大地推动了偏微分方程理论的发展.在中国,程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数.他首先证明 傅里叶级数
多元三角级数球形和的唯一性定理,并揭示了多元傅里叶级数的里斯 - 博赫纳球形平均的许多特性.傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展.在数学物理以及工程中都具有重要的应用.
编辑本段傅里叶级数的公式
　　给定一个周期为T的函数x(t),那么它可以表示为无穷级数：　　x(t)=\sum _{k=-\infty}^{+\infty}a_k\cdot e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}（j为虚数单位）（1） 　　其中,a_k可以按下式计算：傅里叶级数
a_k=\frac{1}{T}\int_{T}x(t)\cdot e^{-jk(\frac{2\pi}{T})t}（2） 　　注意到f_k(t)=e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}是周期为T的函数,故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）.k=0时,（1）式中对应的这一项称为直流分量,k=\pm 1时具有基波频率\omega_0=\frac{2\pi}{T},称为一次谐波或基波,类似的有二次谐波,三次谐波等等.
编辑本段傅里叶级数的收敛性
　　傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛.狄利赫里条件如下：　　在任何周期内,x(t)须绝对可积； 傅里叶级数
在任一有限区间中,x(t)只能取有限个最大值或最小值； 　　在任何有限区间上,x(t)只能有有限个第一类间断点.　　吉布斯现象：在x(t)的不可导点上,如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t),那么X(t)在这些点上会有起伏.一个简单的例子是方波信号.
编辑本段三角函数族的正交性
　　所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0,这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如,在三维欧氏空间中,互相垂直的向量之间是正交的.事实上,正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化.一组n个互相正交的向量必然是线形无关的,所以必然可以张成一个n维空间,也就是说,空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出.三角函数族的正交性用公式表示出来就是：　　\int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\cos (mx) \,dx=0; 傅里叶级数
\int _{0}^{2\pi}\sin (mx)\sin (mx) \,dx=0;(m\ne n) 　　\int _{0}^{2\pi}\cos (mx)\cos (mx) \,dx=0;(m\ne n) 　　\int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\sin (nx) \,dx=\pi; 　　\int _{0}^{2\pi}\cos (nx)\cos (nx) \,dx=\pi;
编辑本段奇函数和偶函数
　　奇函数f_o(x)可以表示为正弦级数,而偶函数f_e(x)则可以表示成余弦级数：　　f_o(x) = \sum _{-\infty}^{+\infty}b_k \sin(kx); 傅里叶级数
f_e(x) = \frac{a_0}{2}+\sum _{-\infty}^{+\infty}a_k\cos(kx); 只要注意到欧拉公式:e^{j\theta}= \sin \theta+j\cos \theta,这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出.
编辑本段广义傅里叶级数
　　任何正交函数系\{ \phi(x)\},如果定义在[a,b]上的函数f(x)只具有有限个第一类间断点,那么如果f(x)满足封闭性方程：　　\int _{a}^{b}f^2(x)\,dx=\sum _{k=1}^{\infty}c^{2}_{k} (4),　　那么级数\sum _{k=1}^{\infty} c_k\phi _k(x) (5) 必然收敛于f(x),其中:　　c_n=\int _{a}^{b}f(x)\phi_n(x)\,dx (6).傅里叶级数
事实上,无论（5）时是否收敛,我们总有：　　\int _{a}^{b}f^2(x)\,dx \ge \sum _{k=1}^{\infty}c^{2}_{k}成立,这称作贝塞尔(Bessel)不等式.此外,式（6）是很容易由正交性推出的,因为对于任意的单位正交基\{e_i\}^{N}_{i=1},向量x在e_i上的投影总为 .