如图,已知：在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AD=AC,P是CD上任意一点,PQ⊥AB于Q,PR垂直AC于R,求证PQ+PR=二分之一AB图在这：

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 21:09:25

如图,已知：在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AD=AC,P是CD上任意一点,PQ⊥AB于Q,PR垂直AC于R,求证PQ+PR=二分之一AB图在这：
如图,已知：在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AD=AC,P是CD上任意一点,PQ⊥AB于Q,PR垂直AC于R,求证PQ+PR=二分之一AB
图在这：

如图,已知：在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AD=AC,P是CD上任意一点,PQ⊥AB于Q,PR垂直AC于R,求证PQ+PR=二分之一AB图在这：
过C作CM⊥AB于M,过P作PE⊥CM于M；
因△ABC为等腰直角三角形,故CM=1/2AB;
因AD=AC,故∠ADC=∠ACD；
因PE⊥CM,AB⊥CM；
故PE //AB,
故∠ADC=∠EPC；
又PC=PC;∠PEC=∠PRC=90（度）；
故△PEC与△CRP全等；
故PR=CE;
显然四边形PEMQ为矩形；
故PQ=EM;
故PQ+PR=CE+EM=CM=二分之一AB.
大功告成!嘿嘿.

从C点做一条垂直于AB的线垂点为X（既是三角形ABC的垂足），那么当P点位于C点时（此时PX与CQ重合PR值为零，）CX（或叫PX）那么就是等腰直角三角形的垂线，由此得PQ+PR=二分之一AB 。

过C点作CF垂直AB于F，过P点作PE垂直CF于E，则PQ=EF
又因为AC=AD
所以角ACD=角ADC
有因为PE平行于DF
所以角CPE=角ADC=角ACD
在直角三角形CEP和直角三角形PRC中
角CPE=角ACD=角PCR
PC=CP
所以直角三角形CEP和直角三角形PRC全等
所以PR=CE
PQ+P...

全部展开

过C点作CF垂直AB于F，过P点作PE垂直CF于E，则PQ=EF
又因为AC=AD
所以角ACD=角ADC
有因为PE平行于DF
所以角CPE=角ADC=角ACD
在直角三角形CEP和直角三角形PRC中
角CPE=角ACD=角PCR
PC=CP
所以直角三角形CEP和直角三角形PRC全等
所以PR=CE
PQ+PR=EF+PR=EF+CE=CF=1/2AB

收起

等腰直角三角形ABC,∠A=45，AC=(√2/2)AB,
S(△APD)+S(△APC)=S(△ACD),
AD*PQ/2+AC*PR/2=AC*AD*sin∠A/2=√2AC*AD/4,
AD=AC,
PQ+PR=√2AC/2=AB/2.