x.y为正 X+Y=1 求1/X+2/Y最小值 用判别式法和三角换元法

x.y为正 X+Y=1 求1/X+2/Y最小值 用判别式法和三角换元法
x.y为正 X+Y=1 求1/X+2/Y最小值 用判别式法和三角换元法

x.y为正 X+Y=1 求1/X+2/Y最小值 用判别式法和三角换元法
由x＞0,y＞0,x＋y＝1,设x＝(cost)^2,y＝(sint)^2,则
1/x＋2/y
＝1/(cost)^2＋2/(sint)^2
＝[(cost)^2＋(sint)^2]/(cost)^2＋2[(cost)^2＋(sint)^2]/(sint)^2
＝3＋(tant)^2＋2(cott)^2
≥3＋2√[(tant)^2×2(cott)^2]＝3＋2√2
等号成立时,(tant)^2＝2(cott)^2,此时,(tant)^2＝√2,所以,x＝√2－1,y＝2－√2.
所以,1/x＋2/y的最小值是3＋2√2.
－－－－－－－－－－－－
设t＝1/x＋2/y,则t＝1/x＋2/(1－x),通分得：
t×x^2＋(1－t)x＋1＝0
判别式△＝t^2－6t＋1≥0
解得：t≥3＋2√2
把t＝3＋2√2 代入 t×x^2＋(1－t)x＋1＝0 中得：x＝(t－1)/(2t)＝√2－1,所以,y＝1－x＝2－√2.
所以,1/x＋2/y的最小值是3＋2√2.

SORRY,你说的方法我还没想出来,但这样的题我做过,我只会用我的方法,你就参考下吧
因为X+Y=1,所以这类题记忆犹新
1/X+2/Y=(1/X+2/Y)(X+Y)=3+Y/X+2X/Y>=3+2*(根号2)
当且仅当Y/X=2X/Y时等号成立
即Y=(根号2)X和X+Y=1联立得
X=(根号2)-1
Y=2-(根号2)
你说的方法我再想想...

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SORRY,你说的方法我还没想出来,但这样的题我做过,我只会用我的方法,你就参考下吧
因为X+Y=1,所以这类题记忆犹新
1/X+2/Y=(1/X+2/Y)(X+Y)=3+Y/X+2X/Y>=3+2*(根号2)
当且仅当Y/X=2X/Y时等号成立
即Y=(根号2)X和X+Y=1联立得
X=(根号2)-1
Y=2-(根号2)
你说的方法我再想想吧,想出来再回答,想不出我也没法子了

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1.1/X+2/Y=(X+Y)/X+2(X+Y)/Y=1+2+Y/X+2X/Y》3+2√2
2.令x=(sint)^2 y=(cost)^2做起来不怎么简便 不如第一种做法

三角换元法
令x=(cosa)^2,y=(sina)^2
1/x+2/y
=1/(cosa)^2+2/(sina)^2
=(seca)^2+2(csca)^2
=[(tana)^2+1]+2[(cota)^2+1]
=(tana)^2+2(cota)^2+3
因为(tana)^2+2(cota)^2>=2根号[(tana)^2*2(cota)...

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三角换元法
令x=(cosa)^2,y=(sina)^2
1/x+2/y
=1/(cosa)^2+2/(sina)^2
=(seca)^2+2(csca)^2
=[(tana)^2+1]+2[(cota)^2+1]
=(tana)^2+2(cota)^2+3
因为(tana)^2+2(cota)^2>=2根号[(tana)^2*2(cota)^2]=2根号2
当且仅当(tana)^2=2(cota)^2
(tana)^4=2是取等号
所以1/x+2/y最小值=3+2根号2

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判别式法：
将y=1-x代入所求式，即求1/x+2/1-x的最小值
令z=1/x+2/1-x,整理得，zx^2+(1-z)x+1=0
判别式为z^2-6z+1,令其>0，解得z>3+2倍根2或z<3-2倍根2(舍去），得最小值为3+2倍根2
三角换元法：
x=(sint)^2 y=(cost)^2，代入所求式整理得
(csct)^2+2(sect)^...

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判别式法：
将y=1-x代入所求式，即求1/x+2/1-x的最小值
令z=1/x+2/1-x,整理得，zx^2+(1-z)x+1=0
判别式为z^2-6z+1,令其>0，解得z>3+2倍根2或z<3-2倍根2(舍去），得最小值为3+2倍根2
三角换元法：
x=(sint)^2 y=(cost)^2，代入所求式整理得
(csct)^2+2(sect)^2=3+(tant)^2+2(cott)^2>=3+2[
(tant)^2*2(cott)^2]^1/2=3+2倍根2

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判别式法
设k=1/X+2/Y=1/x+2/(1-x)=(1+x)/(x(1-x))
所以
1+x=kx-kx^2
化简得到：
kx^2+(1-k)x+1=0
因为x是有根的，且x>0
判别式=（1-k）^2-4k=
k^2-6k+1>=0
所以k>=3+2根号2(另外一个负根舍去)
三角换元法
令x=(co...

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判别式法
设k=1/X+2/Y=1/x+2/(1-x)=(1+x)/(x(1-x))
所以
1+x=kx-kx^2
化简得到：
kx^2+(1-k)x+1=0
因为x是有根的，且x>0
判别式=（1-k）^2-4k=
k^2-6k+1>=0
所以k>=3+2根号2(另外一个负根舍去)
三角换元法
令x=(cosa)^2,y=(sina)^2
1/x+2/y
=1/(cosa)^2+2/(sina)^2
=(seca)^2+2(csca)^2
=[(tana)^2+1]+2[(cota)^2+1]
=(tana)^2+2(cota)^2+3
因为(tana)^2+2(cota)^2>=2根号[(tana)^2*2(cota)^2]=2根号2
当且仅当(tana)^2=2(cota)^2
(tana)^4=2是取等号
所以1/x+2/y最小值=3+2根号2
显然用判别式比较简单

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（1/X+2/Y）×1
=（1/X+2/Y）（X+Y）
在展开
就苛求了