作业帮无限个收敛级数相加一定收敛吗1+∑1/(2^n)+∑1/(3^n)+...+∑1/(n^n)=∑1/n对吗··
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 01:58:27
无限个收敛级数相加一定收敛吗1+∑1/(2^n)+∑1/(3^n)+...+∑1/(n^n)=∑1/n对吗··
无限个收敛级数相加一定收敛吗
1+∑1/(2^n)+∑1/(3^n)+...+∑1/(n^n)=∑1/n对吗··
无限个收敛级数相加一定收敛吗1+∑1/(2^n)+∑1/(3^n)+...+∑1/(n^n)=∑1/n对吗··
对,也不对.你似乎把求和指标与参数弄混了……
先定义一个什么是无限个收敛级数相加.首先一个收敛级数总有收敛到一个值吧,所以到头来还是考虑无限个数相加,和是否收敛的问题.
不过我觉得你想问的应该是：如果级数∑a(1,n),∑a(2,n),∑a(3,n),...,∑a(m,n),...都是收敛的级数,那么我定义一个新的级数：b(n) = a(1,n) + a(2,n) + ...+ a(m,n) + ...
那么∑b(n)是否收敛.
请注意以上所有的和号都是对n求和的.你的问题没有明确就在于：在1/n^n中,作为底数的n是一个固定的参数,而作为指数的n是求和的指标.但是你这么一写出来,会以为是这么一个级数：
1 + 1/2^2 + 1/3^3 + ...+ 1/n^n + ...
这和你开始写的等比级数就不是一回事了.虽然它也收敛,但结果是写不出来的.
如果你取的是a(m,n) = 1/n^m（这应该是你的本意?）
那么b(n) = 1/n + (1/n)^2 + ...= 1/(n-1),n > 1时(n = 1时b(n)没有定义）
那么∑b(n)是发散的.
对于正项级数来说,如果∑b(n)收敛,就一定有∑b(n) = ∑a(1,n) + ∑a(2,n)+ ∑a(3,n)+...+ ∑a(m,n)+...
（这暗含了上式右边也是收敛的）但是如果∑b(n)发散,这时上式的右边也必然发散,我们就不去谈它们是否相等的问题.
当然,你要判断的是∑b(n)的收敛性,你既可以计算b(n),也可以计算c(m) = ∑a(m,n),再看∑c(m)是否收敛,但是结果是肯定的：无限个收敛级数相加不一定收敛,在你给出的例子中就不是
∑1/2^n=(1/2)*(1-(1/2^(n))/(1-1/2)=1-1/2^n=1
∑1/3^n=(1/3)*(1-(1/3^n))/(1-1/3)=(1/2)(1-1/3^n)=1/2
∑1/4^n=(1/4)(1-(1/4^n))/(1-1/4)=(1/3)(1-1/4^n)=1/3
∑1/n^n=(1/n)(1-(1/n^n))/(1-1/n)=(1/(n-1))(1-1/n^n) =1/(n-1)
不一定。比如：n个1\（n2）相加就是1\n，就是发散的了