作业帮如图,在△ABC中,∠CAB=∠CBA=45°,CA=CB,点E为BC的中点,CN⊥AE交AB于N,连EN,求证：AE=CN+EN.另外如图,虚线为辅助线（我自己添的）,在AE上截取AF=CN,连接CF.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 23:25:43
如图,在△ABC中,∠CAB=∠CBA=45°,CA=CB,点E为BC的中点,CN⊥AE交AB于N,连EN,求证：AE=CN+EN.另外如图,虚线为辅助线（我自己添的）,在AE上截取AF=CN,连接CF.
如图,在△ABC中,∠CAB=∠CBA=45°,CA=CB,点E为BC的中点,CN⊥AE交AB于N,连EN,求证：AE=CN+EN.
另外如图,虚线为辅助线（我自己添的）,在AE上截取AF=CN,连接CF.
如图,在△ABC中,∠CAB=∠CBA=45°,CA=CB,点E为BC的中点,CN⊥AE交AB于N,连EN,求证：AE=CN+EN.另外如图,虚线为辅助线（我自己添的）,在AE上截取AF=CN,连接CF.
证明:过点B作BM垂直BC,交CN的延长线于M,则∠MBN=∠EBN=45°.
∠CAE=∠BCM(均为∠ACN的余角);又∠ACE=∠CBM;AC=BC.
则⊿ACE≌ΔCBM(ASA),得AE=CM; BM=CE.
又CE=BE,则BM=BE.
又∠MBN=∠EBN=45°;BN=BN.故⊿MBN≌ΔEBN(SAS),得EN=MN.
所以,AE=CM=CN+MN=CN+EN.
证明:过点B作BM垂直BC,交CN的延长线于M,则∠MBN=∠EBN=45°.
∠CAE=∠BCM(均为∠ACN的余角);又∠ACE=∠CBM;AC=BC.
则⊿ACE≌ΔCBM(ASA),得AE=CM; BM=CE.
又CE=BE,则BM=BE.
又∠MBN=∠EBN=45°;BN=BN.故⊿MBN≌ΔEBN(SAS),得EN=MN.
所以,AE=CM=CN+MN=CN+EN.
目测楼主伪学霸一枚亅
过B做BC垂线与CN延长线交于F。角CBF=角ACB=90，AC=BC。
角NCB+角AEC=角CAE+角AEC，所以角NCB=角CAE。得：三角形ACE全等于三角形BCF。
有：AE=CF、CE=BF
角CBF=90，角ABC=45=角ABF，BN=BN，CE=BF。所以三角形BNE全等于三角形BNF，得：EN=NF。
最后得：AE=CF=CN+NF=CN+EN...
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过B做BC垂线与CN延长线交于F。角CBF=角ACB=90，AC=BC。
角NCB+角AEC=角CAE+角AEC，所以角NCB=角CAE。得：三角形ACE全等于三角形BCF。
有：AE=CF、CE=BF
角CBF=90，角ABC=45=角ABF，BN=BN，CE=BF。所以三角形BNE全等于三角形BNF，得：EN=NF。
最后得：AE=CF=CN+NF=CN+EN
收起
e
在AE上截取AF=CN，连接CF，由题设∠ACB=180°-45°×2=90°，CN⊥AE，
得∠CAF=90°-∠ACN=∠BCN，并CA=CB，AF=CN，
∴△CAF≌△BCN，得CF=BN，∠ACF=∠CBN=45°，那么∠ECF=90°-45°=45°=∠EBN；
∵EC=EB,CF=BN,∴△ECF≌△EBN，得FE=EN。
于是AE=AF+FE=CN+EN。