作业帮设数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N+)1、若bn=an+1-2an,求bn2、若cn=1/an+1-2an,求cn的前6项和T63、若dn=an/2^n,证明dn是等差数列
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 15:52:53
设数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N+)1、若bn=an+1-2an,求bn2、若cn=1/an+1-2an,求cn的前6项和T63、若dn=an/2^n,证明dn是等差数列
设数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N+)
1、若bn=an+1-2an,求bn
2、若cn=1/an+1-2an,求cn的前6项和T6
3、若dn=an/2^n,证明dn是等差数列
设数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N+)1、若bn=an+1-2an,求bn2、若cn=1/an+1-2an,求cn的前6项和T63、若dn=an/2^n,证明dn是等差数列
证明：
(1)
由于S(n+1)=4an+2
则有:Sn=4a(n-1)+2
两式相减,得:
S(n+1)-Sn=4（an-a(n-1)）
a(n+1)-2an=2[an-2a(n-1)]
由于bn=A(n+1)-2an
则有:bn=2b(n-1)
则:bn/b(n-1)=2
则:数列{bn}是公比为2的等比数列.
(2)由于:
bn
=b1*2^(n-1)
=(A2-2A1)*2^(n-1)
=(3/2)*2^n
则:
A(n+1)-2An=(3/2)*2^n
两边同时除以2^n得:
A(n+1)/2^n-2An/2^n=3/2
2[A(n+1)/2^(n+1)]-2[An/2^n]=3/2
由于cn=an/2^n
则有:
2c(n+1)-2cn=3/2
c(n+1)-cn=3/4
则:数列{cn}是公差为3/4的等差数列
(3)
Sn+1=4an+2
Sn=4a（n-1）+2
相减得Sn+1-Sn=4an+2-4a（n-1）-2
an+1=4an-4a（n-1）
an+1-2an=2(an-2an-1)
设bn=an+1-2an
a2=5
b1=5-2=3
bn=3*2^(n-1)
an+1-2an=3*2^(n-1)
an-2an-1=3*2^(n-2)
2(an-1-2an-2)=3*2^(n-2)
...
2^(n-2)(a2-2a1)=3*2^(n-2)
上面相加得
an-2^(n-1)=3(n-1)*2^(n-2)
所以an=3(n-1)2^(n-2)+2^(n-1)
an-2^(n-1)=3(n-1)*2^(n-2)
所以an=3(n-1)2^(n-2)+2^(n-1)
an=(3n-1)2^(n-2)
dn=an/2^n=(3n-1)/4
证毕 等差也