如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE,垂足卫F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D试说明AE=CD,若AC=12cm,求BD的长

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 08:06:13
如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE,垂足卫F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D试说明AE=CD,若AC=12cm,求BD的长

如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE,垂足卫F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D试说明AE=CD,若AC=12cm,求BD的长
如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE,垂足卫F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D
试说明AE=CD,若AC=12cm,求BD的长

如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE,垂足卫F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D试说明AE=CD,若AC=12cm,求BD的长
先证△ACE≌△CBD
∵∠CEF+∠FCE=90°
又∵∠CAE+∠CEF=90°
∴∠FCE=∠CAE
AC=BC
∠ACE=∠CBD
∴△ACE≌△CBD
∴AE=CD CE=BD
BD=CE=BC/2=AC/2=6cm

BD=CE=1/2BC=1/2AC=6cm

楼主没有图。。。

因为CF⊥AE,所以∠DFE=90°,且BD⊥BC,∠DBC=90°
∠D+∠BEA=180°,∠BEA+∠AEC=180°,所以∠D=∠AEC,∠DCB=∠EAC
在三角形DBC和三角形ECA中
∠DBC=∠ACE,∠DCB=∠EAC,AC=BC
所以三角形DBC全等于三角形ECA
所以AE=CD
(2)由(1)得BD=EC,又BC=AC
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因为CF⊥AE,所以∠DFE=90°,且BD⊥BC,∠DBC=90°
∠D+∠BEA=180°,∠BEA+∠AEC=180°,所以∠D=∠AEC,∠DCB=∠EAC
在三角形DBC和三角形ECA中
∠DBC=∠ACE,∠DCB=∠EAC,AC=BC
所以三角形DBC全等于三角形ECA
所以AE=CD
(2)由(1)得BD=EC,又BC=AC
AE为BC边中线,E为BC中点,BC=2EC
所以BD=EC=二分之一AC,AC=12cm
所以BD=6cm

收起

先证△ACE≌△CBD
∵∠CEF+∠FCE=90°
又∵∠CAE+∠CEF=90°
∴∠FCE=∠CAE
AC=BC
∠ACE=∠CBD
∴△ACE≌△CBD
∴AE=CD CE=BD
BD=CE=BC/2=AC/2=6cm