作业帮已知正方体ABCD-A1B1C1D1,O是底面ABCD对角线的交点.求直线AB与平面AB1D1所成角的正切值如题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 10:53:59
已知正方体ABCD-A1B1C1D1,O是底面ABCD对角线的交点.求直线AB与平面AB1D1所成角的正切值如题
已知正方体ABCD-A1B1C1D1,O是底面ABCD对角线的交点.求直线AB与平面AB1D1所成角的正切值
如题
已知正方体ABCD-A1B1C1D1,O是底面ABCD对角线的交点.求直线AB与平面AB1D1所成角的正切值如题
三棱锥A-AB1D1的体积:
可以是：△ABB1为底,A1D1为高；
也可以是：△AB1D1为底,B到△AB1D1的距离为高(设为h)
∴有:△ABB1面积×A1D1 =△AB1D1×h
设正方体边长为1
∵△ABB1面积=1/2,A1D1=1
又∵B1D1=AB1=AD1=√2,∴△AB1D1面积=(√2)×[√(3/2)]÷2=(√3)/2
∴h=(1/2)÷(√3)/2=1/√3
又∵AB²-h²=1-(1/3)=2/3
∵tan=h/√(AB²-h²)=(1/√3)×√(3/2)=1/√2
不妨设正方体的棱长为1；由于AB//A1B1，所以直线AB与平面AB1D1所成角θ等于直线A1B1与平面AB1D1所成角；在三棱锥A1-AB1D1中，AB1=B1D1=D1A=正方体侧面正方形对角线，A1A=A1B1=A1D1=正方体棱长，所以三棱锥A1-AB1D1是正三棱锥；由顶点A1向底面AB1D1所做垂线必定过正三角形AB1D1的中心；该中心到B1的距离即为A1B1在平面AB1D1内的投影；...
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不妨设正方体的棱长为1；由于AB//A1B1，所以直线AB与平面AB1D1所成角θ等于直线A1B1与平面AB1D1所成角；在三棱锥A1-AB1D1中，AB1=B1D1=D1A=正方体侧面正方形对角线，A1A=A1B1=A1D1=正方体棱长，所以三棱锥A1-AB1D1是正三棱锥；由顶点A1向底面AB1D1所做垂线必定过正三角形AB1D1的中心；该中心到B1的距离即为A1B1在平面AB1D1内的投影；该投影长度=(√2/2)/cos30°=√(2/3)，所以cosθ=[√(2/3)]/1=√(2/3)；所以tanθ=√[1/(cosθ)^2-1]，即tanθ=1/√2；θ≈35.264°
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