作业帮已知数列an 前n项和为sn.sn=2-2an求证an为等比数列an通向公式an*sn的前n项和tn
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 19:44:49
已知数列an 前n项和为sn.sn=2-2an求证an为等比数列an通向公式an*sn的前n项和tn
已知数列an 前n项和为sn.sn=2-2an
求证an为等比数列
an通向公式
an*sn的前n项和tn
已知数列an 前n项和为sn.sn=2-2an求证an为等比数列an通向公式an*sn的前n项和tn
Sn=2-2an
则
S(n-1)=2-2a(n-1)
两式相减,
Sn-S(n-1)=2a(n-1)-2an
而Sn-S(n-1)=an
所以
an=2a(n-1)-2an
即an=2/3a(n-1)
所以an为以a1为首项,2/3为公比的等比数列
且首项为
S1=a1=2-a1
a1=1
则通项为an=(2/3)^(n-1)
Sn=(1-(2/3)^n)/(1-2/3)=3*(1-(2/3)^n)
所以,
an*Sn=(2/3)^(n-1)*3*(1-(2/3)^n)
=3*(2/3)^(n-1)-3*(2/3)^(2n-1）
=3*(2/3)^(n-1)-3*(2/3)(2/3)^(2n-2）
=3*(2/3)^(n-1)-2*(4/9)^n-1
则前一项为3为首项,2/3为公比的等比数列
后一项为2为首项,4/9为公比的等比数列
分开求：
前一项的和为：
3*（1-(2/3)^n)/(1-2/3)=9*（1-(2/3)^n)
后一项的和为：
2*（1-(4/9)^n)/(1-4/9)=18/5*（1-(4/9)^n)
则an*sn的前n项和tn=
9*（1-(2/3)^n)+18/5*（1-(4/9)^n)
sn=2-2an，s(n-1)=2-2a(n-1),sn-s(n-1)=an=2a(n-1)-2an,所以3an=2a(n-1),为等比数列，公比为2/3. s1=2-2a1，即3a1=2,a1=2/3,所以an=(2/3)的n次方。
楼上好快啊，我刚做完，打算刷新看一下，结果已经做出来了
由条件可以得到 s（n-1）=2-2a（n-1） （n-1是下标）
把这个式子和条件中的式子相减 可得 an=-2an+2a（n-1）
所以3an=2a（n-1） 等比，公比为2/3
第二问 先令条件中的n=1 得出a1=2/3，然后就好办了
第三问 用sn的公式代入计算出sn，然后乘an，不难发现是两个等比数列的差，所以分别求和相减就行。具体自己算算看吧...
全部展开
由条件可以得到 s（n-1）=2-2a（n-1） （n-1是下标）
把这个式子和条件中的式子相减 可得 an=-2an+2a（n-1）
所以3an=2a（n-1） 等比，公比为2/3
第二问 先令条件中的n=1 得出a1=2/3，然后就好办了
第三问 用sn的公式代入计算出sn，然后乘an，不难发现是两个等比数列的差，所以分别求和相减就行。具体自己算算看吧。
也许有不太严密的地方，供参考。
收起
Sn+1=2-2an+1=Sn+an+1=2-2an+an+1
an+1/an=2/3
为等比数列
S1=2-2a1=a1 a1=2/3 q=2/3
an=（2/3)^n Sn=2[1-(2/3)^n]
Tn=2（2/3)^n[1-(2/3)^n]
sn=2-2an
a1=2-2a1
a1=2/3
sn+1-sn=an+1=2(an-an+1)
an+1/an=2/3
an是等比数列
公比是2/3
首项是2/3
an=（2/3）^n
tn =2*2/3（1-（2/3)^n）/(1-2/3)-2*4/9(1-(4/9)^n)/(1-4/9)
=4(1-(2/3)^n)-8/5*(1-(4/9)^n)