∫(-1到1)√1-x^2ln(x+√1+x^2)定积分怎么证明等于0

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/13 11:06:21
∫(-1到1)√1-x^2ln(x+√1+x^2)定积分怎么证明等于0

∫(-1到1)√1-x^2ln(x+√1+x^2)定积分怎么证明等于0
∫(-1到1)√1-x^2ln(x+√1+x^2)定积分怎么证明等于0

∫(-1到1)√1-x^2ln(x+√1+x^2)定积分怎么证明等于0

 
 
若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.

分解-1到0 + 0到1

证明函数{√1-x^2ln(x+√1+x^2)}为奇函数即可。
如果函数为奇函数,则在正负两个区间上积分为相反号,之和为0。
{√(1-x²)ln[x+√(1+x²)]}中的√(1-x²)为偶数,如果另一个函数为奇函数即成立。
f(x)=ln(x+√1+x^2)
f(-x)=ln{(-x)+√[1+(-x)²]}
...

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证明函数{√1-x^2ln(x+√1+x^2)}为奇函数即可。
如果函数为奇函数,则在正负两个区间上积分为相反号,之和为0。
{√(1-x²)ln[x+√(1+x²)]}中的√(1-x²)为偶数,如果另一个函数为奇函数即成立。
f(x)=ln(x+√1+x^2)
f(-x)=ln{(-x)+√[1+(-x)²]}
=ln{-x+√[1-x²]}
=ln{[-x+√(1-x²)]*[x+√(1-x²)]/[x+√(1-x²)]}
=ln{[-x²+(1-x²)]/[x+√(1-x²)]}
=ln{1/[x+√(1-x²)]}
=-ln{x+√(1-x²)}
= - f(x)
即为奇函数。
所以得证。

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