设数列｛an｝的前n项和Sn满足：Sn=nan－2n（n－1）.等比数列｛bn｝的前n项和为Tn,公比为a1,且T5=T3＋2b5.1求数列｛an｝的通项公式;2,设数列｛1／anan＋1｝的前n项和为Mn,求证：5／1≤Mn＜1/4

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/08 15:05:08

设数列｛an｝的前n项和Sn满足：Sn=nan－2n（n－1）.等比数列｛bn｝的前n项和为Tn,公比为a1,且T5=T3＋2b5.1求数列｛an｝的通项公式;2,设数列｛1／anan＋1｝的前n项和为Mn,求证：5／1≤Mn＜1/4
设数列｛an｝的前n项和Sn满足：Sn=nan－2n（n－1）.等比数列｛bn｝的前n项和为Tn,公比为a1,且T5=T3＋2b5.
1求数列｛an｝的通项公式;2,设数列｛1／anan＋1｝的前n项和为Mn,求证：5／1≤Mn＜1/4

设数列｛an｝的前n项和Sn满足：Sn=nan－2n（n－1）.等比数列｛bn｝的前n项和为Tn,公比为a1,且T5=T3＋2b5.1求数列｛an｝的通项公式;2,设数列｛1／anan＋1｝的前n项和为Mn,求证：5／1≤Mn＜1/4
1.
an=Sn-Sn-1
而Sn-S=nan-2n(n-1)-na-2(n-1)(n-2)
推出 an-a=4
当n>1时,an=a+4
对于第二个条件：
公比为a1,为了在这里列式方便,我们暂时用q代替
T5=b1(1-q^5)/(1-q)
T3=b1(1-q^3)(1-q)
b5=b1*q^4
这样T5=T3+2b5就转化为 b1(1-q^5)/(1-q)=b1(1-q^3)(1-q)+2*b1*q^4
右面通分变成分子是 b1(1-q^3)+2*b1*q^4*(1-q) ,分母是1-q
于是转化为 b1(1-q^5)=b1(1-q^3)+2*b1*q^4*(1-q)
两边消去b1,并化简得到 q^5-2q^4+q^3=0
q^3*(q-1)^2=0
q=0 或者 q=1
而等比数列公比不能为0.所以取q=1,也就是a1=1
于是an通项公式变成
an=1+4(n-1)
再来看2
由上可知数列an公差为4,即an+1=4+an
1/ana=1/4 * (1/an-1/a)
Mn= 1/4*(1/a1-1/a2+1/a2-1/a3+.+1/an-1/a)
Mn=1/4*(1/a1-1/a)
Mn=1/4(1-1/a)
Mn要取得最小值,则要1/a(n+1)最大才行,n+1=2时,a2=5,Mn取得最小值：1/4*(1-1/5）.1/5≤Mn
无论1/a(n+1)多么小,它始终是一个正分数,始终大于0
所以Mn