a+b-c)/c=(b+c-a)/a=(c+a-b)/b求证(a+b)(b+c)(c+a)/abc=8

a+b-c)/c=(b+c-a)/a=(c+a-b)/b求证(a+b)(b+c)(c+a)/abc=8
a+b-c)/c=(b+c-a)/a=(c+a-b)/b求证(a+b)(b+c)(c+a)/abc=8

a+b-c)/c=(b+c-a)/a=(c+a-b)/b求证(a+b)(b+c)(c+a)/abc=8
(a+b-c)/c=(b+c-a)/a=(c+a-b)/b
(a+b+c-2c)/c=(b+c+a-2a)/a=(c+a+b-2b)/b
(a+b+c)/c-2=(b+c+a)/a-2=(c+a+b)/b-2
(a+b+c)/c=(b+c+a)/a=(c+a+b)/b
1/c=1/a=1/b
a=b=c
(a+b)(b+c)(c+a)/abc=2a*2a*2a/（a*a*a）=8
应该有个前提是a+b+c≠0,否则不成立的

设(a+b-c)/c=(b+c-a)/a=(c+a-b)/b = k
则 a+b-c=kc , b+c-a=ka ,c+a-b=kb
于是三式相加,移项整理得 (1-k)(a+b+c)=0
若 a+b+c=0， 则 (a+b)(b+c)(c+a)/(abc)=(-c)(-a)(-b)/(abc)= -1
若 a+b+c≠0， 则 k=1 。于是 a+b=2...

全部展开

设(a+b-c)/c=(b+c-a)/a=(c+a-b)/b = k
则 a+b-c=kc , b+c-a=ka ,c+a-b=kb
于是三式相加,移项整理得 (1-k)(a+b+c)=0
若 a+b+c=0， 则 (a+b)(b+c)(c+a)/(abc)=(-c)(-a)(-b)/(abc)= -1
若 a+b+c≠0， 则 k=1 。于是 a+b=2c ， b+c=2a， c+a=2b
于是(a+b)(b+c)(c+a)/(abc)= 8
综上所述，(a+b)(b+c)(c+a)/(abc)= -1 或 8

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