作业帮已知曲线C的方程:x^2+y^2-4x+2y+5m=0 若M=0,是否存在过点P(0,2)的直线l与曲线C交于A、B两点且|PA|=|AB|,若存在求出l的方程,若不存在说明理由.急求啊~!用高中必修二的知识解决谢谢了!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 18:53:56
已知曲线C的方程:x^2+y^2-4x+2y+5m=0 若M=0,是否存在过点P(0,2)的直线l与曲线C交于A、B两点且|PA|=|AB|,若存在求出l的方程,若不存在说明理由.急求啊~!用高中必修二的知识解决谢谢了!
已知曲线C的方程:x^2+y^2-4x+2y+5m=0 若M=0,是否存在过点P(0,2)的直线l与曲线C交于A、B两点且|PA|=|AB|,若存在求出l的方程,若不存在说明理由.急求啊~!用高中必修二的知识解决谢谢了!
已知曲线C的方程:x^2+y^2-4x+2y+5m=0 若M=0,是否存在过点P(0,2)的直线l与曲线C交于A、B两点且|PA|=|AB|,若存在求出l的方程,若不存在说明理由.急求啊~!用高中必修二的知识解决谢谢了!
当m=0时,曲线是：x²＋y²－4x＋2y=0即C：(x－2)²＋(y＋1)²=5,且点P(0,2)在曲线C外.过点P作圆C的切线PQ,切点为Q,则：PQ²=PC²－R²=8,则：PQ=2√2,又：PA×PB=PQ²=8,则：PA=AB=√2,即圆C的弦AB=√2,从而圆心到直线L的距离d=√3,设L：y=kx＋2,则：
d=|2k＋3|/√(1＋k²)=√3,解得：k²＋6k＋6=0,求出k的值即得到直线L的方程.
把m=0带入得到：（x-2）^2+(y+1)^2=5。所以圆心为（2，-1），半径为根号5。假设存在过p（0,2）的直线l与曲线C交于A、B两点且|PA|=|AB|。
①：斜率不存在时：直线为y轴，得到B点（0，-2）成立此时直线方程为x=0
②：斜率存在设为k，则直线为y=kx+2；此时圆心到p的距离为根号13，圆心到直线的距离设为d。
所以由几何知识得到：D^2=PA*...
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把m=0带入得到：（x-2）^2+(y+1)^2=5。所以圆心为（2，-1），半径为根号5。假设存在过p（0,2）的直线l与曲线C交于A、B两点且|PA|=|AB|。
①：斜率不存在时：直线为y轴，得到B点（0，-2）成立此时直线方程为x=0
②：斜率存在设为k，则直线为y=kx+2；此时圆心到p的距离为根号13，圆心到直线的距离设为d。
所以由几何知识得到：D^2=PA*PB其中D为p做圆的切线的距离。D^2=13-5=8。得到PA=2.
AB=2，所以玹长的一半为1.所以1+d^2=5，d=2。
d=（2k+1+2）/根号下（k^2+1).。所以得到斜率为k=-5/12。
所以此时直线方程为5x+12y-24=0。
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