设函数y=f(x)的定义域为R,当X1,且对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y)成立,数列{an}满足a1=f(0)且f（an+1）=1/f(-2-an),(n∈N*)(1)求{an}的通项；（2）是否存在正数K,使（1+1/a1)(1+1/a2)(1+1/a3).(1+1/an)≥K（根号2n+1

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 21:19:01

设函数y=f(x)的定义域为R,当X1,且对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y)成立,数列{an}满足a1=f(0)且f（an+1）=1/f(-2-an),(n∈N*)(1)求{an}的通项；（2）是否存在正数K,使（1+1/a1)(1+1/a2)(1+1/a3).(1+1/an)≥K（根号2n+1
设函数y=f(x)的定义域为R,当X1,且对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y)成立,数列{an}满足a1=f(0)且f（an+1）=1/f(-2-an),(n∈N*)
(1)求{an}的通项；（2）是否存在正数K,使（1+1/a1)(1+1/a2)(1+1/a3).(1+1/an)≥K（根号2n+1）
（注：an+1是下标）
第一问我证得an=2n-1，

设函数y=f(x)的定义域为R,当X1,且对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y)成立,数列{an}满足a1=f(0)且f（an+1）=1/f(-2-an),(n∈N*)(1)求{an}的通项；（2）是否存在正数K,使（1+1/a1)(1+1/a2)(1+1/a3).(1+1/an)≥K（根号2n+1
1
首先令x=y=0,得f(0)=0或1
显然f(x)不恒等于0,故f(0)=1,否则f(0)=0=f(x)f(-x)
可知f(x)恒等于0,矛盾
故f(x)f(-x)=f(0)=1
对任意的x11
故f(x1)>1/f(-x2)=f(x2)
故y=f(x)在R上是单调递减函数
f(an+1)=1/f(-2-an)
得f(0)=1=f(an+1)f(-2-an)=f(an+1-2-an)
由单调性可知an+1-2-an=0
即an+1=2+an
an是等差数列
a1=f(0)=1
d=2
an=2n-1
2
（1+1/a1)(1+1/a2)(1+1/a3).(1+1/an)≥K（根号2n+1）
1+1/an=1+1/2n-1=2n/(2n-1)
（1+1/a1)(1+1/a2)(1+1/a3).(1+1/an)
=2/1*4/3*6/5*8/7*...*2n/(2n-1)
设bn=（1+1/a1)(1+1/a2)(1+1/a3).(1+1/an)/(√2n+1)
b(n+1)/bn=[1+1/(an+1)]*(√2n+1)/(√2n+3)
=[(2n+2)/(2n+1)]*(√2n+1)/(√2n+3)
=(2n+2)/[(√2n+1)/(√2n+3)]
>1
所以：
{bn}为单调递增数列!
因此：
bn>＝b1=(1+1/a1)/(√3)=2/√3=2√3/3
即
(1+1/a1)(1+1/a2）...(1+1/an)>=(2√3/3）√(2n+1)对于一切自然数成立,等号成立当且仅当n=1,
所以,K最大值为k=2√3/3.

哈哈，这道题我做过~~~
五年以前。。。。。