作业帮1:∫xln（1+x）dx不定积分2:∫sin（inx）dx从1到e的定积分我知道要分部积分，问题是水平太低，搞不出来啊
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 20:56:26
1:∫xln（1+x）dx不定积分2:∫sin（inx）dx从1到e的定积分我知道要分部积分，问题是水平太低，搞不出来啊
1:∫xln（1+x）dx不定积分
2:∫sin（inx）dx从1到e的定积分
我知道要分部积分，问题是水平太低，搞不出来啊
1:∫xln（1+x）dx不定积分2:∫sin（inx）dx从1到e的定积分我知道要分部积分，问题是水平太低，搞不出来啊
1、∫xln（1+x）dx＝1/2*x^2*ln(x+1)-1/2∫x^2dx/(x+1)＝1/2*x^2*ln(x+1)-1/4*x^2+1/2*x-1/2*ln(x+1)+C
2、∫[1,e]sin（inx）dx＝∫[0,1]e^y*sinydy＝e^y*siny[0,1]-∫[0,1]e^y*cosydy＝e*sin1-(e^y*cosy[0,1]+∫[0,1]e^y*sinydy),∫[0,1]e^y*sinydy＝1/2*(e*sin1-e*cos1+1)
xln(1+x)dx=1/2 *ln(1+x)dx^2
=1/2 [x^2 *ln(1+x)-积分 x^2*d(ln(1+x))]
=1/2 [x^2 *ln(1+x)-积分x^2/(1+x) *dx
=1/2*[x^2 *ln(1+x)-1/2*x^2-x-ln(1+x)]
sin(lnx)dx=...
全部展开
xln(1+x)dx=1/2 *ln(1+x)dx^2
=1/2 [x^2 *ln(1+x)-积分 x^2*d(ln(1+x))]
=1/2 [x^2 *ln(1+x)-积分x^2/(1+x) *dx
=1/2*[x^2 *ln(1+x)-1/2*x^2-x-ln(1+x)]
sin(lnx)dx=xsin(lnx)-积分x*d(sin(lnx))
=xsin(lnx)-积分cos(lnx)dx
而
cos(lnx)dx=xcos(lnx)-积分x*d(cos(lnx))
=xcos(lnx)+积分sin(lnx)dx
代入后
积分sin(lnx)dx=xsin(lnx)-xcos(lnx)-积分sin(lnx)dx
所以
积分sin(lnx)dx=1/2 [xsin(lnx)-xcos(lnx）] 最后代入e和1
收起
第一个分部积，第二个还是分部积，不过要分几次，为了最后凑出左边的积分。
1.=1/2∫Ln(x+1)dx^2
=1/2x^2Ln(x+1)-1/2∫x^2/x+1dx
=1/2x^2Ln(x+1)-1/2∫(x^2-1+1)/(x+1)dx=1/2x^2Ln(x+1)-1/2∫(x-1)dx-1/2∫1/(x+1)dx=1/2x^2Ln(x+1)-1/4(x-1)^2-1/2Ln(x+1)
2.=sin(Lnx)x|(e,1)-∫cos(Lnx)dx
=sin1-cos(Lnx)x|(e,1)-∫sin(Lnx)dx
移∫sin(Lnx)dx=1/2(sin1-cos1+)