已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求函数y=f(x^-2)的之值域

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/28 22:33:20
已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求函数y=f(x^-2)的之值域

已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求函数y=f(x^-2)的之值域
已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求函数y=f(x^-2)的之值域

已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求函数y=f(x^-2)的之值域
f(x+1)=f(x)+x+1
令x=0得:f(1)=f(0)+0+1,把f(0)=0代入得:f(1)=1
令x=1得:f(2)=f(1)+1+1,把f(1)=1代入得:f(2)=3
f(0)=0,则:令f(x)=ax²+bx
f(1)=1,f(2)=3 得:
a+b=1
4a+2b=3
解得:a=1/2,b=1/2
所以,f(x)=x²/2+x/2
令t=x^(-2),则:t>0
则:f(x^(-2))=f(t)=t²/2+t/2 (t>0)
对称轴为:t=-1/2,当t=0时,f(t)有最小值0
所以,值域为(0,+∞)


f(x)是二次函数,若f(0)=0,
于是可以设
f(x)=ax²+bx
还有f(x+1)=f(x)+x+1
也就是
a(x+1)²+b(x+1)=ax²+bx+x+1
化简就是
(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1
于是各项对应相等,即
2a+b=b+1
a+b=1

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f(x)是二次函数,若f(0)=0,
于是可以设
f(x)=ax²+bx
还有f(x+1)=f(x)+x+1
也就是
a(x+1)²+b(x+1)=ax²+bx+x+1
化简就是
(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1
于是各项对应相等,即
2a+b=b+1
a+b=1
于是a=1/2,b=1/2
从而
f(x)=x²/2+x/2
于是y=f(x^-2)=(x^-2)²/2+x^-2/2=1/2×(1/x^4+1/x²)
因为x≠0
于是1/x²>0
令1/x²=t
于是y=t²+t,其中t>0
显然y>0
也就是函数y=f(x^-2)的之值域是y>0

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解由f(0)=0
设y=ax²+bx
则f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)=ax²+(2a+b)x+a+b
而f(x)+x+1=ax²+(b+1)x+1
即2a+b=b+1,a+b=1
即a=1/2,b=1/2
即f(x)=1/2x²+1/2x
令t=x^(-2),则t>0
即y=f(x^-2)=f(t)=1/2t²+1/2t=1/2(t+1/2)²-1/8≥-1/8


设f(x)=ax²+bx+c,则:
f(0)=c=0
f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c
=ax²+(2a+b)x+a+b+c
f(x)+x+1=ax²+(b+1)x+c+1
因此:
ax²+(2a+b)x+a+b+c = ax²+(b+1)x+c+1...

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设f(x)=ax²+bx+c,则:
f(0)=c=0
f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c
=ax²+(2a+b)x+a+b+c
f(x)+x+1=ax²+(b+1)x+c+1
因此:
ax²+(2a+b)x+a+b+c = ax²+(b+1)x+c+1
因此:
2a+b=b+1
a+b+c=c+1
解得:
a=1/2
b=1/2

f(x)=(1/2)x²+x/2
f(1/x²)=(1/2)(1/x^4)+1/2x²
=(1/2)(1/x^4 +1/x²+1/4 - 1/4)
=(1/2)(1/x² + 1/2)² - 1/8
因此:
f(1/x²) ∈(-1/8,0)U(0,+∞)

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