作业帮数列{an}的前n项和为Sn=2^n+q,bn=lg^an,已知bn为等差数列（1）求q（2）求数列｛anbn｝的前n项和Tn
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/16 13:58:12
数列{an}的前n项和为Sn=2^n+q,bn=lg^an,已知bn为等差数列（1）求q（2）求数列｛anbn｝的前n项和Tn
数列{an}的前n项和为Sn=2^n+q,bn=lg^an,已知bn为等差数列（1）求q（2）求数列｛anbn｝的前n项和Tn
数列{an}的前n项和为Sn=2^n+q,bn=lg^an,已知bn为等差数列（1）求q（2）求数列｛anbn｝的前n项和Tn
(1)
对数有意义,an>0
bn为等差数列,设公差为d
b(n+1)-bn=lg[a(n+1)]-lg(an)=lg[a(n+1)/an]=d
d为定值,a(n+1)/an为定值,数列{an}是等比数列.
n=1时,a1=S1=2+q
n≥2时,an=Sn-S(n-1)=2ⁿ+q-[2^(n-1)+q]=2^(n-1)
a(n+1)/an=2ⁿ/2^(n-1)=2,为定值,即数列从第2项开始,是以2为公比的等比数列.要a1也是数列中的项,则
a2/a1=2
2/(q+2)=2
解得q=-1
(2)
an=2^(n-1) bn=lg(an)=lg[2^(n-1)]=(n-1)lg2
anbn=(n-1)×2^(n-1)lg2
Tn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
=[(1-1)×2^0+(2-1)×2+(3-1)×2²+...+(n-1)×2^(n-1)]lg2
=[1×2+2×2²+...+(n-1)×2^(n-1)]lg2
令Bn=1×2+2×2²+3×2³+...+(n-1)×2^(n-1)
则2Bn=1×2²+2×2³...+(n-2)×2^(n-1)+(n-1)×2ⁿ
Bn-2Bn=-Bn=2+2²+...+2^(n-1) -(n-1)×2ⁿ
=2×[2^(n-1) -1]/(2-1)-(n-1)×2ⁿ
=2^(n+1) -n·2ⁿ-2
Bn=n·2ⁿ+2 -2^(n+1)
Tn=Bn·lg2=[n·2ⁿ+2 -2^(n+1)]lg2