如图,△ABC中,AB=BC ∠B=120°,AB的垂直平分线交AC于D.求证AD=½CD

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 09:01:24
如图,△ABC中,AB=BC ∠B=120°,AB的垂直平分线交AC于D.求证AD=½CD

如图,△ABC中,AB=BC ∠B=120°,AB的垂直平分线交AC于D.求证AD=½CD
如图,△ABC中,AB=BC ∠B=120°,AB的垂直平分线交AC于D.求证AD=½CD

如图,△ABC中,AB=BC ∠B=120°,AB的垂直平分线交AC于D.求证AD=½CD
证明过程如下:
连接DB
因为BA=BC ∠B=120
所以∠A=∠C=(180-∠B)/2=(180-120)/2=30
因为DE垂直平分AB
所以AD=BD ∠DBA=∠A=30
所以∠DBC=∠B-∠DBA=120-30=90
因为∠DBC=90 ∠C=30,所以BD=1/2DC
(理由:在直角三角形中,30度角所对的边是斜边的一半.在三角形BDC中,BD是30度角角C的对角,CD为斜边,所以BD=1/2DC)
又因为BD=AD
所以AD=1/2DC

连接BD 设ED=1
因为B=120º,AB=BC
所以A=C=30º
在三角形AED中AD=2,AE=√3
所以AB=2√3
从而在三角形ABC中
AC=√3*2√3=6
所以CD=6-2=4
AD=1/2CD

证明:设AB=BC=a,∠B=120°
所以∠A=∠C=30°
因为AE=EB,DE垂直AB
所以AE=EB=a/2
在三角形AED中,cosA=AE/AD
所以AD=AE/cosA=√3a/3
连接BD,所以AD=BD...

全部展开

证明:设AB=BC=a,∠B=120°
所以∠A=∠C=30°
因为AE=EB,DE垂直AB
所以AE=EB=a/2
在三角形AED中,cosA=AE/AD
所以AD=AE/cosA=√3a/3
连接BD,所以AD=BD=√3a/3
所以∠BDC=2∠A=60°
所以∠CBD=90°
在三角形BCD中,cosC=BC/CD
所以CD=BC/cosC=2√3a/3
所以AD/CD=(√3a/3)/(2√3a/3)=1/2
所以AD=(1/2)CD

收起

证明:连接BD,设AB的垂直平分线交AB于E。
因为DE是AB垂直平分线,所以,△AED和△BED全等,所以∠BDA=∠A=∠C=30°
所以∠BDC=120°-30°=90°,所以,△AED和△BDC相似,所以AD:CD=AE:BC=1:2
所以AD=1/2CD