求根号（4+x^2）和根号（x²-6x+25）的和的最小值,11

求根号（4+x^2）和根号（x²-6x+25）的和的最小值,11
求根号（4+x^2）和根号（x²-6x+25）的和的最小值,11

求根号（4+x^2）和根号（x²-6x+25）的和的最小值,11
答：
f(x)=√(4+x^2)+√(x^2-6x+25)
=√[(x-0)^2+(0-2)^2]+√[(x-3)^2+(0+4)^2]
即是表示x轴上的点（x,0）到点（0,2）和点（3,-4）的距离之和
当三点共线时,距离之和最小即为点（0,2）到点（3,-4）的距离
所以：
f(x)>=√[(3-0)^2+(-4-2)^2]=√(9+36)=3√5
所以：最小值为3√5
f(x)=√(4+x^2)+√(x^2-6x+25)
求导：
f'(x)=2x/[2√(4+x^2)]+(2x-6)/[2√(x^2-6x+25]
=x/√(4+x^2)+(x-3)/√(x^2-6x+25)
令f'(x)=0得：
x/√(4+x^2)+(x-3)/√(x^2-6x+25)=0
x/√(4+x^2)=(3-x)/√(x^2-6x+25)………………（1）
两边平方得：
x^2/(4+x^2)=(x^2-6x+9)/(x^2-6x+25)
x^2/4=(x^2-6x+9)/16
4x^2=x^2-6x+9
x^2+2x-3=0
x=-3或者x=1
因为：x=-3不符合（1）,所以需舍弃
所以：x=1时,f(x)最小值为f(1)=√5+√(1-6+25)=3√5

原式=√[(x-0)^2+(0+2)^2]+√[(x-3)^2+(0-4)^2]
所以就是P(x,0)到A(1,-2)和B(3,4)的距离和
所以当APB共线且P在AB之间时最小
所以P就是直线AB和x轴交点
AB由两点式
是(y+2)/(4+2)=(x-1)/(3-1)
y=0
则x=2/3
所以P(2/3,0)
所以最小值为（√193+2√10）/3