令数列B=1/n*n,证明该数列前n项和小于2

令数列B=1/n*n,证明该数列前n项和小于2
令数列B=1/n*n,证明该数列前n项和小于2

令数列B=1/n*n,证明该数列前n项和小于2
1/n^n<1/(n*(n-1))<1/(n-1)-1/n;
前n项和Sn=1+1/4+1/9+……+1/n^n
<1+1-1/2+1/2-1/3+……+1/(n-1)-1/n
=2-1/n
<2

放缩，让其中一个N变成N—1然后裂项，就好了

放缩法

1/n*n<1/n*(n-1)=(n-(n-1))/n*(n-1)=1/(n-1)-1/n
Sn<1+1-1/2+1/2-1/3……+1/(n-1)-1/n=2-1/n<2

1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... 1/n^2 + ... = π^2 / 6 ≈ 1.64
前n项的和必然小于2