如果4X+1,是一个质数,（X是正整数）则4X+1必然能够表示成两个整数的平方和?

如果4X+1,是一个质数,（X是正整数）则4X+1必然能够表示成两个整数的平方和?
如果4X+1,是一个质数,（X是正整数）则4X+1必然能够表示成两个整数的平方和?

如果4X+1,是一个质数,（X是正整数）则4X+1必然能够表示成两个整数的平方和?
首先声明,不是我想出来的,只不过是前人的成果而已.
基本的数论知识我这里就不重复了.过程比较长,也很抽象,但也算是够"异想天开"的.
第一步
令4X+1=p为质数.
在{1,2,3,...,p-1}中,对任一个元素x,定义子集{x,(-x),(1/x),(-1/x)}
注意,-x,1/x,-1/x这三个是在同余意义下的加法逆和乘法逆,其具体定义为:
如果y=(-x),那么有x+y=1(mod p),
如果y=(1/x),那么有xy=1(mod p),
如果y=(-1/x),那么有xy=-1(mod p),
由于p为质数,这3个逆总是存在的.
把这个子集称为一个组,通常这个组包括4个元素.他们相互等价,知道任一个,都可以推出其余3个.
注意到特殊情况,即一个组可能有重复元素,从而只包括2个元的情况.(不可能有一个元的情况,因为x=-x(mod p)在p为奇数时不可能成立)
或者x=1/x(mod p),也即是x^2=1(mod p),此时这个组为{1,p-1},总是存在且唯一.
或者x=-1/x(mod p),也即是x^2=-1(mod p).此时这个组设为{s,t},是否存在尚未知.
因为p=4x+1,那么{1,2,...,p-1}能被4整除.把所有4元组排除之后和{1,p-1}排除之后,还剩两个数,这两个数只能是上面最后一种情况,所以必然存在{s,t}满足s^2=t^2=-1(mod p).
第二步
令u,v∈{0,1,2,...,[根号p]},并使其两两配对.显然,(u,v)这样的整数对共有( [根号p]+1 )^2对.总数是多于p的.定义二元函数u-s*v.
那么对每个s,存在这样两队(u1,v1)和(u2,v2)使得:
u1 - s*v1 = u2 - s*v2(mod p)
或(u1-u2)=s*(v1-v2)(mod p)
定义u=|u1-u2|; v=|v1-v2|
由于是不同的两队,所以u,v不全为零且u,v

1.
任何平方数皆呈4x或4x+1型态，故对任何呈4x+3型式的数，必无法表示成两平方数和，将质数p分为4k+1和4k+3两种，对正整数a，a=1 ~ p-1，求a²除以p的余数，对4k+1型质数可产生2k种余数，而4k+3型质数可产生2k+1种余数
例如：
4k+1型17:1,4,9,16,8,2,15,13,|13,15,2,8,16,9,4,1，有8种余数，...

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1.
任何平方数皆呈4x或4x+1型态，故对任何呈4x+3型式的数，必无法表示成两平方数和，将质数p分为4k+1和4k+3两种，对正整数a，a=1 ~ p-1，求a²除以p的余数，对4k+1型质数可产生2k种余数，而4k+3型质数可产生2k+1种余数
例如：
4k+1型17:1,4,9,16,8,2,15,13,|13,15,2,8,16,9,4,1，有8种余数，可产生四组余数相加等於17
4k+3型(k为偶数)11:1,4,9,5,3,|3,5,9,4,1，产生五种余数，若将其乘2再除以11，可找到另5个可能余数
4k+3型(k为奇数)23:1,4,9,16,2,13,3,18,12,8,6|...，产生11个余数，任取两个相加除以11,可找到另11个可能余数．
2.
对4k+1型质数p，可找到2k组呈现a²+b²=mp
例如：3²+5²=2×17，6²+7²=5×17
对4k+3质数p，可找到a²+b²+c²=mp，视同a²+b²+c²+d²=mp
1²+4²+4²=3×11，2²+4²+7²=3×23
3.
接下来，我们就4k+1型质数寻找a²+b²=p，即求m之最小值1，以p=29为例
(1)11²+13²是29的10倍，我们将11和13分别除以10,得到一组余数为(1,3)
利用(a²+b²)(c²+d²)=(ac+bd)²+(ad-bc)²
对a²+b²=mp而言，(ac+bd)，(ad-bc)必为m的倍数
将(11²+13²)(1²+3²)改写成=(11×1+13×3)²+(11×3-13×1)²=50²+20²，等式两边各除以100，得到29=5²+2²
(2)再做一次练习，这次，当余数大於被除数m的一半时，我们引进负余的观念
8²+9²=5×29，(8,9)除以5,得到余数(3,4)，将(3,4)改成(-2,-1)，以(8,9),(-2,-1)来操作可得|[8×(-2)+9×(-1)]|/5=5，[8×(-1) - 9×(-2)]/5=2，如此亦可得到5²+2²=29
(3)
可以用任一a²+b²=mp推出其余各组符合a²+b²=mp的组合
例如：利用4²+11²=137求出1+x²=137k的正整数解
利用负余观念，(4,11)==(4,126)==(2,63)==(2,74)==(1,37)
可以求得1²+37²=137×10
4.
就4k+3型质数寻找a²+b²+c²+d²=p，即求m之最小值1，以p=23为例，2²+4²+7²=3×23
利用(a²+b²+c²+d²)(e²+f²+g²+h²)=(ae+bf+cg+dh)²+(af-be+ch-dg)²+(ag-bh-ce+df)²+(ah+bg-cf-de)²
(2²+4²+7²+0²)(-1²+1²+1²+0²)
=(-2+4+7+0)²+(2+4+0-0)²+(2-0+7+0)²+(0+4-7-0)²
69×3=9²+6²+9²+3²
同除9得23=3²+2²+3²+1²
************************************************************
由上可知，4k+1型的质数p，可表示成两个平方数和
…………很累……

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假设质数4X+1=a^2+b^2成立，那么X=（a^2+b^2-1）/4，那么a^2+b^2为奇数，那么a^2和b^2必为一奇一偶，即a，b一个为奇数，一个为偶数。所以不妨设a=2m,b=2n+1（mn为整数），则X=m^2+n^2+n，显然满足条件的X为正整数时，若满足4X+1为质数，则必可表示成a^2+b^2
比如X=1，则可取m=1，n=0，则a=2，b=1， 4X+1=5=1^2+...

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假设质数4X+1=a^2+b^2成立，那么X=（a^2+b^2-1）/4，那么a^2+b^2为奇数，那么a^2和b^2必为一奇一偶，即a，b一个为奇数，一个为偶数。所以不妨设a=2m,b=2n+1（mn为整数），则X=m^2+n^2+n，显然满足条件的X为正整数时，若满足4X+1为质数，则必可表示成a^2+b^2
比如X=1，则可取m=1，n=0，则a=2，b=1， 4X+1=5=1^2+2^2=a^2+b^2
另外的楼主可以验算

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这个是费马二平方和定理，你到百科，文库搜看有没有？我只会用杨辉三角证明费马小定理。费马二平方和我证明不了。

我最近也在证明这个费马定理，每天茶饭不思，但进展缓慢，希望能与你并肩战斗，我QQ 516109561

若a表为2n+1型奇数（n=1、2、3 …）， 则存在如下abc平方整数解关系：
a=2n+1
{ b= n^2+（n+1）^2-1
c= n^2+（n+1）^2
利用a值奇数列定理当a=3、5、7、9 、11、13 … 时可得到如下平方整数解关系：
3^2+4^2=5^2
5^2+12^2=13^2
7^2+24...

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若a表为2n+1型奇数（n=1、2、3 …）， 则存在如下abc平方整数解关系：
a=2n+1
{ b= n^2+（n+1）^2-1
c= n^2+（n+1）^2
利用a值奇数列定理当a=3、5、7、9 、11、13 … 时可得到如下平方整数解关系：
3^2+4^2=5^2
5^2+12^2=13^2
7^2+24^2=25^2
9^2+40^2=41^2
11^2+60^2=61^2
13^2+84^2=85^2
…
定理1。2 直角三角形a2+b2=c2整数解的a值偶数列定理：
若a表为2n型奇数（n=2、3、4 …）， 则存在如下a、b、c平方整数解关系：
a= 2n
{ b= n^2 -1
c= n^2+1
利用a值奇数列定理当取a=4、6、8、10、12、14…时可得到如下平方整数解关系；
4^2+3^2=5^2
6^2+8^2=10^2
8^2+15^2=17^2
10^2+24^2=26^2
12^2+35^2=37^2
14^2+48^2=50^2
…
凡是能表示成4N+1的素数都可以写成两个数的平方和

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