作业帮数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn与an之间满足an=2Sn^2/2Sn -1 (n>=2)在答案里写,由已知等式可知Sn(n>=2)不为零,我不明白它是怎么看出Sn不为零的,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 17:24:54
数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn与an之间满足an=2Sn^2/2Sn -1 (n>=2)在答案里写,由已知等式可知Sn(n>=2)不为零,我不明白它是怎么看出Sn不为零的,
数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn与an之间满足an=2Sn^2/2Sn -1 (n>=2)
在答案里写,由已知等式可知Sn(n>=2)不为零,我不明白它是怎么看出Sn不为零的,
数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn与an之间满足an=2Sn^2/2Sn -1 (n>=2)在答案里写,由已知等式可知Sn(n>=2)不为零,我不明白它是怎么看出Sn不为零的,
若存在某一Sk=0,必有ak=0,从而S(k-1)=Sk-ak=0
同理推出a(k-1)=a(k-2)=……=a1=0
a1=0与已知a1=1矛盾
所以不存在Sk=0,Sn恒不为零
由An=2(Sn^2)/(2Sn-1) (n≥2),得
Sn-S(n-1)=2(Sn^2)/(2Sn-1) (n≥2),
得S(n-1)-Sn-2S(n-1)Sn=0
得1/Sn-1/S(n-1)=2
所以数列{1/Sn}是等差数列,首项为1/S1=1/A1=1,公差为2.
所以1/Sn=1+(n-1)*2=2n-1
所以Sn=1/(2n-1)
所以
当n≥2时,An=Sn-S(n-1)=1/(2n-1)-1/(2n-3)=2/[(2n-1)(2n-3)];
当n=1时,A1=1
an=2Sn^2/(2Sn-1)
若S2=0
则
a2=-2Sn^2=0,
S2=a1+a2=a1=0,矛盾
所以S2不为0
假设Sk不为0，则假设S(k+1)=0,则
a(k+1)=-2S(k+1)^2=0
S(k+1)=Sk+a(k+1)=Sk=0,矛盾
因此S（k+1）不为0，
这就证明了Sn不为0.
已知等式中Sn作为分母，自然不能为0.
你的等式没打清楚，现在无法证明。