lim x->0 (e^x-e^sinx)/x^3 等价无穷小的代换查了很多把我搞晕了,有人说等价无穷小只能做乘除不能加减,晕了!假如e^x 可以约等于 1+x e^sinx可以约等于 1+sinx 那么 sinx不是还和x是等价无穷小 e^sinx e^x

lim x->0 (e^x-e^sinx)/x^3 等价无穷小的代换查了很多把我搞晕了,有人说等价无穷小只能做乘除不能加减,晕了!假如e^x 可以约等于 1+x e^sinx可以约等于 1+sinx 那么 sinx不是还和x是等价无穷小 e^sinx e^x
lim x->0 (e^x-e^sinx)/x^3 等价无穷小的代换查了很多把我搞晕了,有人说等价无穷小只能做乘除不能
加减,晕了!假如e^x 可以约等于 1+x e^sinx可以约等于 1+sinx 那么 sinx不是还和x是等价无穷小 e^sinx e^x 当然这样上面就是0了而不是极限是0...把我将明白再加分

lim x->0 (e^x-e^sinx)/x^3 等价无穷小的代换查了很多把我搞晕了,有人说等价无穷小只能做乘除不能加减,晕了!假如e^x 可以约等于 1+x e^sinx可以约等于 1+sinx 那么 sinx不是还和x是等价无穷小 e^sinx e^x
lim x->0 (e^x-e^sinx)/x^3=lim x->0 e^sinx(e^x-sinx -1)/x^3=lim x->0(e^x-sinx -1)/x^3=lim x->0（x-sinx)/x^3=1/6（sinx的泰勒公式或者罗比达法则）
告诉你让你计算极限时千万不要用约等于,所谓的约等于是在泰勒公式的基础上得来的,舍去了高阶无穷小.列如sinx=x-1/6 x^3+o(x^3)把后面两项去掉之后就得来了你所谓的约等于,是不能用约等于的

不知道你有没有学过
洛必达法则？
lim x->0 (e^x-e^sinx)/x^3
=lim x->0 (e^x-e^sinx)'/(x^3)'
=lim x->0 (e^x-e^sinx*cosx)/3x^2
=lim x->0 [e^x-(e^sinx*cosx^2-e^sinx*sinx)]/6x
=lim x->0 [e^x-(e^sinx*cosx^3-e^sinx*2cosx*sinx)+(e^sinx*sinx*cosx+e^sinx*cosx)]/6
=[1-(1-0)+(0+1)]/6
=1/6

等价无穷小替换的关键就是省去了后面的高阶无穷小。
e^x等价于1+x,是说e^x=1+x+o(x)，o(x)是比x高阶的无穷小，什么意思呢？就是说lim[x->0]o(x)/x=0,同理e^sinx=1+sinx+o'(x),o'(x)也是比x高阶的无穷小，
sinx=x+o''(x),一样的。
那么对于原题来说就是e^x-e^sinx=1+x+o(x)-1-sinx-o'...

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等价无穷小替换的关键就是省去了后面的高阶无穷小。
e^x等价于1+x,是说e^x=1+x+o(x)，o(x)是比x高阶的无穷小，什么意思呢？就是说lim[x->0]o(x)/x=0,同理e^sinx=1+sinx+o'(x),o'(x)也是比x高阶的无穷小，
sinx=x+o''(x),一样的。
那么对于原题来说就是e^x-e^sinx=1+x+o(x)-1-sinx-o'(x)
=1+x+o(x)-1-x-o''(x)-o'(x)
=o(x)-o'(x)-o''(x)
最后得出的这一串也是x的高阶无穷小，因为[o(x)-o'(x)-o''(x)]/x 在x趋于0时极限是0。所以，e^x-e^sinx的结果是一个高阶无穷小，但不是0。所以替换过后解得极限是0，实际上是错误答案，就是因为忽略了高阶无穷小。
对于除法的形式，就拿limsinx/x这个简单的例子来说吧（当然x趋于0），都知道sinx是x的等价无穷小，为什么这时可以替换呢？因为sinx=x+o(x),那么，
sinx/x=1+o(x)/x 所以limsinx/x=lim(1+o(x)/x)=lim(1+0)=1
注意到：limo(x)/x=0的，因为o(x)是高阶无穷小嘛
所以在除法的情况下可以替换的，并不影响结果。当然我只是举了个个例并不是严密的数学论证，但是我只是为了简单的说明除法和减法分别运用等价无穷小替换时的小小区别。
本题lim x->0 (e^x-e^sinx)/x^3
= lim x->0 e^x[1-e^(sinx-x)]/x^3
= lim x->0 e^x(x-sinx)/x^3
= lim x->0 (1+x)(x-sinx)/x^3
= lim x->0 (x^2-xsinx+x-sinx)/x^3（用3次罗比达法则）
=1/6

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