设F(x)=(f(x)-f(a))/(x-a),(x>a)其中f(x)在[a,+∞)上连续,f''(x)在(a,+∞)内存在且大于0,求证F(x)在(a,+∞)内单调递增.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 03:38:05
设F(x)=(f(x)-f(a))/(x-a),(x>a)其中f(x)在[a,+∞)上连续,f''(x)在(a,+∞)内存在且大于0,求证F(x)在(a,+∞)内单调递增.

设F(x)=(f(x)-f(a))/(x-a),(x>a)其中f(x)在[a,+∞)上连续,f''(x)在(a,+∞)内存在且大于0,求证F(x)在(a,+∞)内单调递增.
设F(x)=(f(x)-f(a))/(x-a),(x>a)其中f(x)在[a,+∞)上连续,f''(x)在(a,+∞)内存在且大于0,求证F(x)
在(a,+∞)内单调递增.

设F(x)=(f(x)-f(a))/(x-a),(x>a)其中f(x)在[a,+∞)上连续,f''(x)在(a,+∞)内存在且大于0,求证F(x)在(a,+∞)内单调递增.
题目错了吧,那就那样的已知条件得不出这个结论的.可以举一个反例.
f(x)=√x, 显然满足:
f(x)在[a,+∞)上连续,f''(x)在(a,+∞)内存在且大于0
但是
F(x)=(√x-√a)/(x-a)=1/(√x+√a) 是减函数.
好吧,题目没看清,那里是二阶导,还以为是一阶呢,二阶导就对了.
F'(x)=[(x-a)f'(x)-(f(x)-f(a))]/(x-a)^2
根据拉格朗日中值地理
f(x)-f(a)=f'(ξ)(x-a) ξ∈(a,x)
又f''(x)>0
所以
f'(x)>f'(ξ)
从而得到
F'(x)=[(x-a)f'(x)-(f(x)-f(a))]/(x-a)^2=F'(x)=(f'(x)-f'(ξ))/(x-a)>0
所以F(x) (a,+∞)递增

这个你得注明是高中解法还是大学解法
给个大学解法
F'(x)=[f‘(x)(x-a)-f(x)+f(a)]/(x-a)²
={f'(x)-[(f(x)-f(a))/(x-a)]}/(x-a)³
有拉格朗日定理,f'(ζ)=[f(x)-f(a)]/(x-a),ζ∈(a,x)
因f''(X)>0,于是f’(ζ)<f‘(x)
于是F’(...

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这个你得注明是高中解法还是大学解法
给个大学解法
F'(x)=[f‘(x)(x-a)-f(x)+f(a)]/(x-a)²
={f'(x)-[(f(x)-f(a))/(x-a)]}/(x-a)³
有拉格朗日定理,f'(ζ)=[f(x)-f(a)]/(x-a),ζ∈(a,x)
因f''(X)>0,于是f’(ζ)<f‘(x)
于是F’(x)=[f'(x)-f‘(ζ)]/(x-a)³>0
得F(x)单调增

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