1^2+2^2+3^2+.+n^2=?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/27 18:51:34

1^2+2^2+3^2+.+n^2=?
1^2+2^2+3^2+.+n^2=?

1^2+2^2+3^2+.+n^2=?
1²＋2²＋3²＋……＋n²＝1/6·n(n＋1)(2n＋1)
证明如下：
不妨设1²＋2²＋3²＋……＋n²＝S
利用恒等式(n＋1)³＝n³＋3n²＋3n＋1,得：
(n＋1)³－n³＝3n²＋3n＋1
n³－(n－1)³＝3(n－1)²＋3(n－1)＋1
………………………………
3³－2³＝3·2²＋3·2＋1
2³－1³＝3·1²＋3·1＋1
将这n个式子两端分别相加,得：
(n＋1)³－1＝3(1²＋2²＋3²＋……＋n²)＋3(1＋2＋3＋……＋n)＋n
由于1＋2＋3＋4＋……＋n＝n(n＋1)/2
代入上式,得：
n³＋3n²＋3n＝3S＋3/2×n(n＋1)＋n
整理后得S＝1/6·n(n＋1)(2n＋1)
即1²＋2²＋3²＋……＋n²＝1/6·n(n＋1)(2n＋1)

证明不等式：(1/n)^n+(2/n)^n+(3/n)^n+.+(n/n)^n 当n为正偶数,求证n/(n-1)+n(n-2)/(n-1)(n-3)+...+n(n-2).2/(n-1)(n-3)...1=n 高数题：n趋近于0,lim｛1/（n^2+n+1)+2/(n^2+n+2)+3/(n^2+n+3)+.+n/(n^2+n+n)｝=? 为什么n(n+1)(n+2)(n+3)=(n²+3n+2)(n²+3n)? 为什么:n×(n+1)=1/3[n(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1)] 数列a(n)=n (n+1)(n+2)(n+3),求S(n) n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=5n+10这道题怎么解 n(n-1)(n-2)（n-3)（n-4)=154440.求N值要步骤 2^n/n*(n+1) [3n(n+1)+n(n+1)(2n+1)]/6+n(n+2)化简 [3n(n+1)+n(n+1)(2n+1)]/6+n(n+2)化简化简n分之n-1+n分之n-2+n分之n-3+.+n分之1 化简n分之n-1+n分之n-2+n分之n-3+.+n分之1 f(x)=e^x-x 求证(1/n)^n+(2/n)^n+...+(n/n)^n 1*N+2*（N-1）+3*（N-2）+...+N*1=1/6N(N+1)(N+2) 用数学归纳法证明：(n+1)(n+2)(n+3)+.+(n+n)=(2^n)*1*3*.(2n-1) 证明：1+2C(n,1)+4C(n,2)+...+2^nC(n,n)=3^n .(n∈N+) 化简(n+1)(n+2)(n+3)