已知P(x,y)是圆x²+y²=2y上的动点,⑴求2x+y的取值范围；⑵若x+y+a≥0恒成立,求实数a的取值范围.

已知P(x,y)是圆x²+y²=2y上的动点,⑴求2x+y的取值范围；⑵若x+y+a≥0恒成立,求实数a的取值范围.
已知P(x,y)是圆x²+y²=2y上的动点,
⑴求2x+y的取值范围；
⑵若x+y+a≥0恒成立,求实数a的取值范围.

已知P(x,y)是圆x²+y²=2y上的动点,⑴求2x+y的取值范围；⑵若x+y+a≥0恒成立,求实数a的取值范围.
x²＋y²＝2y ===>x²＋(y－1)²＝1
这表示的是以点(0,1)为圆心,半径为1的圆
⑴设z＝2x＋y,求z的取值范围
y＝－2x＋z
这是斜率为－2,纵截距为z的一组平行直线系
当纵截距有最值时,即z有最值.
显然,直线y＝－2x＋z与圆相切时,z有最值
d＝|1－z|/√5＝1
∴z＝1－√5或z＝1＋√5
∴1－√5≤z≤1＋√5
即2x＋y∈[1－√5,1＋√5].
⑵x＋y＋a≥0恒成立 ===>x＋y≥－a恒成立
则只需x＋y(min)≥－a即可
方法同上,可求得x＋y(min)＝1－√2
∴－a≤1－√2
则a≥√2－1
∴a的取值范围为[√2－1,＋∞).

将圆的方程写成一般式，画出圆的图像，设Z=2X+y，平移直线，取出最最大值与最小值即可。（2）同第一问，还是求最大值与最小值。

这个你变量替换，x=cosα,y=1+sinα,剩下 的就是三角函数的事情了。