已知AD为△ABC的BC边上的中线,试说明AB+AC＞2AD

已知AD为△ABC的BC边上的中线,试说明AB+AC＞2AD
已知AD为△ABC的BC边上的中线,试说明AB+AC＞2AD

已知AD为△ABC的BC边上的中线,试说明AB+AC＞2AD
证明：在AD的延长线上取点E,使AD＝ED,连接CE
∵AD是BC边上的中线
∴BD＝CD
∵AD＝ED,∠ADB＝∠EDC
∴△ADB≌△EDC （SAS）
∴CE＝AB
∵在△ACE中：CE+AC＞AE
∴AB+AC＞AE
∵AE＝AD+ED＝2AD
∴AB+AC＞2AD

证明：延长AD至M使DM=AD
因为AD=DM, ∠ ADC= ∠ BDM,BD=CD
所以△ADC≌ △BDM
所以MB=AC
因为在△ABM中,AB+BM＞ AM
所以AB+AC＞2AD

延长AD到E，使DE=AD，连BE，CE
则有ACD全等EBD（SAS）
AC=BE
在ABE中，AB+BE>AE
AC=BE AE=2AD
所以 AB+AC>2AD

证明：在AD的延长线上取点E，使AD＝ED，连接CE
∵AD是BC边上的中线
∴BD＝CD
∵AD＝ED，∠ADB＝∠EDC
∴△ADB≌△EDC （SAS）
∴CE＝AB
∵在△ACE中：CE+AC＞AE
∴AB+AC＞AE
∵AE＝AD+ED＝2AD
∴AB+AC＞2AD