作业帮设抛物线C:y^2=2px(p>0)上有两动点A、B(AB不垂直于x轴）且|AF|+|BF|=8,又线段AB的垂直平分线恒过定点Q（6.0）（2）求三角形AQB的面积最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 20:48:14
设抛物线C:y^2=2px(p>0)上有两动点A、B(AB不垂直于x轴）且|AF|+|BF|=8,又线段AB的垂直平分线恒过定点Q（6.0）（2）求三角形AQB的面积最大值
设抛物线C:y^2=2px(p>0)上有两动点A、B(AB不垂直于x轴）
且|AF|+|BF|=8,又线段AB的垂直平分线恒过定点Q（6.0）
（2）求三角形AQB的面积最大值
设抛物线C:y^2=2px(p>0)上有两动点A、B(AB不垂直于x轴）且|AF|+|BF|=8,又线段AB的垂直平分线恒过定点Q（6.0）（2）求三角形AQB的面积最大值
抛物线焦点F(p/2,0),渐近线方程为x=p/2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有
8=|AF|+|BF|=x1-(-p/2)+x2-(-p/2)=x1+x2+p
线段AB的垂直平分线恒过定点Q（6.0）,则必有AQ=BQ,于是有
(x1-6)^2+y1^2=(x2-6)^2+y2^2
也即
(x1-6)^2+2px1=(x2-6)^2+2px2
移向化简得
(x1+x2-12+2p)(x1-x2)=0
因AB不垂直于x轴,故x1≠x2,故x1+x2-12+2p=0.结合x1+x2+p=8,得p=4
于是抛物线方程为y^2=8x.
过点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线方程为
(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1),也即
(y2-y1)x-(x2-x1)y-x1y2+x2y1=0
于是点Q(6,0)到直线AB的距离为
d=|6(y2-y1)-x1y2+x2y1|/√[(y2-y1)^2+(x2-x1)^2]
则S△AQB=1/2*|6(y2-y1)-x1y2+x2y1|/√[(y2-y1)^2+(x2-x1)^2]*√[(y2-y1)^2+(x2-x1)^2]
=1/2*|6(y2-y1)-x1y2+x2y1|=1/2*|6(y2-y1)-1/8*y1^2*y2+1/8*y2^2*y1|
=1/2*|6(y2-y1)+1/8*y1y2*(y2-y1)|=1/2*|(y2-y1)(6+1/8*y1y2)|
而x1+x2=8-p=8-4=4=1/8*y1^2+1/8*y2^2,故y1^2+y2^2=32
于是S△AQB)=1/2*|(y2-y1)(6+1/8*y1y2)|=1/2*√(y1^2+y2^2-2y1y2)*|6+1/8*y1y2|
由于y1^2+y2^2=32,故|y1y2|≤(y1^2+y2^2)/2=16,故|1/8*y1y2|≤2,故4≤6+1/8*y1y2≤8,故
S△AQB)=1/2*√(y1^2+y2^2-2y1y2)*|6+1/8*y1y2|=1/2*√(32-2y1y2)*(6+1/8*y1y2)
=1/16*√(32-2y1y2)*(48+y1y2)=1/16*√(32-2y1y2)*√(48+y1y2)*√(48+y1y2)
≤1/16*{[√(32-2y1y2+48+y1y2+48+y1y2)/3]}^3=64√6/9
即三角形AQB的面积最大值为64√6/9
Smax=(64√6)/9