作业帮已知a,b是方程4x^2-4kx-1=0的两个不等实根,函数F（X）=（2x-k）/（x^2+1） 的定义域为[a,b] 判断函数在定义域内单调性 记g(x)=f(x)max-f(x)min,对任意k是实数,恒有g(k)≤a根号(1+k^2)成立,求实数a取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 20:10:43
![已知a,b是方程4x^2-4kx-1=0的两个不等实根,函数F（X）=（2x-k）/（x^2+1） 的定义域为[a,b] 判断函数在定义域内单调性 记g(x)=f(x)max-f(x)min,对任意k是实数,恒有g(k)≤a根号(1+k^2)成立,求实数a取值范围.](/uploads/image/z/1265772-12-2.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5a%2Cb%E6%98%AF%E6%96%B9%E7%A8%8B4x%5E2-4kx-1%3D0%E7%9A%84%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%AE%9E%E6%A0%B9%2C%E5%87%BD%E6%95%B0F%EF%BC%88X%EF%BC%89%3D%EF%BC%882x-k%EF%BC%89%2F%EF%BC%88x%5E2%2B1%EF%BC%89+%E7%9A%84%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F%E4%B8%BA%5Ba%2Cb%5D+%E5%88%A4%E6%96%AD%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9C%A8%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F%E5%86%85%E5%8D%95%E8%B0%83%E6%80%A7+%E8%AE%B0g%28x%29%3Df%28x%29max-f%28x%29min%2C%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8Fk%E6%98%AF%E5%AE%9E%E6%95%B0%2C%E6%81%92%E6%9C%89g%28k%29%E2%89%A4a%E6%A0%B9%E5%8F%B7%281%2Bk%5E2%29%E6%88%90%E7%AB%8B%2C%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0a%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4.)
已知a,b是方程4x^2-4kx-1=0的两个不等实根,函数F（X）=（2x-k）/（x^2+1） 的定义域为[a,b] 判断函数在定义域内单调性 记g(x)=f(x)max-f(x)min,对任意k是实数,恒有g(k)≤a根号(1+k^2)成立,求实数a取值范围.
已知a,b是方程4x^2-4kx-1=0的两个不等实根,函数F（X）=（2x-k）/（x^2+1） 的定义域为[a,b]
判断函数在定义域内单调性
记g(x)=f(x)max-f(x)min,对任意k是实数,恒有g(k)≤a根号(1+k^2)成立,求实数a取值范围.
提
已知a,b是方程4x^2-4kx-1=0的两个不等实根,函数F（X）=（2x-k）/（x^2+1） 的定义域为[a,b] 判断函数在定义域内单调性 记g(x)=f(x)max-f(x)min,对任意k是实数,恒有g(k)≤a根号(1+k^2)成立,求实数a取值范围.
4x＾2－4kx-1=0>>>>>(伟大定理)
>>>>> A+B=k
A*B=-1/4
设 A>>>>f'(x)=-(x＾2－kx-1)/(x^2+1)^2
因为,f'(x)=0
即,x＾2－kx-1=0
得,x1+x2=k
x1*x2=-1
设 x1
韦达定理
4x^2-4kx-1=0
化为
(2x-k)^2=k^2+1
所以F(a)=k^2+1/a^2+1
F(b)=k^2+1/b^2+1
因为对称轴x=k/2，顶点y=-k^2-1恒小于0所以方程一定有两个解。
又F'(x)=-(x＾2－kx-1)/(x^2+1)^2，所以
当x＾2－kx-1<0，假设根为A,B，所以A
全部展开
4x^2-4kx-1=0
化为
(2x-k)^2=k^2+1
所以F(a)=k^2+1/a^2+1
F(b)=k^2+1/b^2+1
因为对称轴x=k/2，顶点y=-k^2-1恒小于0所以方程一定有两个解。
又F'(x)=-(x＾2－kx-1)/(x^2+1)^2，所以
当x＾2－kx-1<0，假设根为A,B，所以A
f(x)除以4得到x^2-kx-1/4=0，而A,B满足x＾2－kx-1=0，所以f(A)>0,f(B)>0而f(x)开口向上所以A
g(x)=F(b)-F(a)=(k^2+1)(a^2-b^2)/(a^2+1)(b^2+1)
实际上(a^2-b^2)=k^2+1
(a^2+1)(b^2+1)=a^2b^2+a^2+b^2+1=1/16+k^2+1/2+1=9/16+k^2+1
另k^2+1=t，t>=1
所以g(x)=t^2/(9/16+t)
所以g(x)<=asqrt(t),sqrt（）代表根号
等价于
a>=t^3/2/(9/16+t)
当t>=1时，a>=16/25
收起
恩一