证明 5阶群都是Abel群

证明 5阶群都是Abel群
证明 5阶群都是Abel群

证明 5阶群都是Abel群
素数阶群都是单群,从而都是循环群,也就是abel群.
只需要考虑非素数阶的群就行了.
也就是只要考虑四阶群就行了.
假设这个四阶群不是循环群,（是循环群必然是abel群了）那它有非平凡子群,子群必为2阶.
取群中两个非单位元a,b.
他们分别构成的循环群都是二阶,从而a*a=b*b=e e为单位元.
现在注意a*b必不属于a生成的循环群,否则要么a*b=a 推出b=e矛盾；要么a*b=a*a 推出b=a,矛盾；
类似的a*b也不属于b生成的循环群；从而a*b既不是a,也不是b,也不是e,从而是第四个元素.
类似的b*a既不属于a生成的循环群,也不属于b生成的循环群.
注意一共只有四个元素,所以a*b=b*a;也就是a,b可交换；
其他的元素都是a,b的乘积,所以也可交换.证毕.

你是大工计算机的么