物理曲线运动小船过河,船速3M/S不变,水速4M/S,求过河最短路程

物理曲线运动小船过河,船速3M/S不变,水速4M/S,求过河最短路程
物理曲线运动
小船过河,船速3M/S不变,水速4M/S,求过河最短路程

物理曲线运动小船过河,船速3M/S不变,水速4M/S,求过河最短路程
船速和实际速度垂直为最短

没河宽为D，设偏上角度为A，则过河速度为3*COS（A），过河时间为D/（3*COS（A）），船被水冲下的距离为（4-D*SIN（A））*D/（3*COS（A）），求船被水冲下的距离的最小值。即（4-D*SIN（A））*D/（3*COS（A））的最小值。

这类问题属于运动合成问题。涉及到速度的合成、位移的合成。合成后的运动，与分别进行每个分运动的结果是等价的。

对于小船过河问题，不管小船采用何种方式，其结果都是从此岸某一点（设为 A ，那么A通常是固定的）到达彼岸某一点（设为 B ，B点通常是我们要求出的）。那过河的路线就是连接A、B两点的一条曲线，其长度就是过河路程。

讨论之前先统一一下说法。船速（小船速度）：指小船在静水中的速度，也就是小船的动力系统所赋予小船的速度；合成速度（合速度）：是“船速”与水速的合成，也就是小船在河中的实际运动速度。

本题是要求过河路程的最小值，因为小船过河方式是任意的，我们先假设船速足够大，所以它的到达点——B ，可能是彼岸的任意一点。那么，此问题就等价于：对于此岸固定点 A，求连接 A 与彼岸所有点的所有曲线中的最短者的长度。很明显，河的宽度就是这个最短长度，那过 A 点到彼岸的垂线段就是最短路线了。运动轨迹是由“速度方向”决定的。“最短路线”就是小船的合运动的轨迹，由小船的合速度方向决定。根据合速度方向、一个分速度（河水速度）的大小及方向、另一分速度的大小（船速），就可以求出这一分速度，即小船速度的方向了。

但是，上面的“最短路线”是以“船速足够大”为前提的。在船速比水速小时，它们的合成速度的方向并不是任意的。这时，无论小船方向如何，都不会形成垂直河岸的合速度。但上面的结论给我们一个求解最短路线的方向，就是让小船的“合成路线”，即“合成速度方向”尽可能地垂直河岸，也就是与河岸的夹角尽可能大。通过下面的速度合成图，即可看出：能够产生最短路径的合成速度的方向，与船速（Vb）、水速（Vr）的大小关系有关。

1）Vb > Vr ：可以形成任何方向的合速度，因此，最短路径的合成速度是垂直河岸的那个；

2）Vb < Vr ：所以合成速度均偏向水速的方向，那么与河岸形成最大夹角的合速度，就是与图中的圆相切的那一个。这时的合成速度与船速垂直；

3）Vb = Vr ：这是一种比较特殊的情况，其合成速度的方向仍然都偏向水速方向，但合成速度与河岸夹角越大，其大小就越小。当合成速度与河岸垂直时，大小变为零，也就是合速度为零了。这个夹角可以无限接近90°，但无法与它等于。因此，根本不存在一个最大夹角，也就没有“最短路线”了。

本题属于第二种情况，这个夹角（θ）满足：sin(θ) = Vb / Vr = 3/4。总之，求“最短路线”，首先要求合速度，然后根据合速度求小船速度。

这类题目往往还会问到过河的“最短时间”。这时可通过对小船的实际运动进行分解求小船的实际运动 = 垂直于河岸的运动 + 平行于河岸的运动。合成运动与每一个分运动在时间上是完全相同的。又因为“垂直于河岸的运动”的路程是固定的，即河的宽度，所以，使得过河时间最短的方法，必然是使得“垂直于河岸的速度”最大的那个。而水速是平行于河岸的，在垂直方向的分量为零，垂直速度只能由船速提供。所以，当船速本身垂直于河岸时，就是垂直速度最大时，也就是过河时间最短时。这条结论与船速及水速的大小关系无关，因为我们只考虑垂直方向，与平行方向的水速无关。

求路程还缺条件，

可以求出朝什么方向走，路程最短，如图

当船速与水速方向垂直的时候，过河路线最短，实际速度即为和速度方向，轨迹如图。