作业帮设数列{an}的前n项和Sn满足Sn=（n-1）/n（n+1）-an（n=1,2,···）,则a5=?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 02:47:06
设数列{an}的前n项和Sn满足Sn=（n-1）/n（n+1）-an（n=1,2,···）,则a5=?
设数列{an}的前n项和Sn满足Sn=（n-1）/n（n+1）-an（n=1,2,···）,则a5=?
设数列{an}的前n项和Sn满足Sn=（n-1）/n（n+1）-an（n=1,2,···）,则a5=?
数列{an}的前n项和Sn满足Sn=（n-1）/n（n+1）-an（n=1,2,···）
a1=S1=0
由S2=1/6-a2得a2=1/12,S2=1/12
由S3=1/6-a3得a3=1/24,S3=1/18
由S4=3/20-a4得a4=17/360,S4=37/360
由S5=2/15-a5得a5=11/720,S5=17/144
a5=11/720
n=1时，S1=a1=(1-1)/[1×(1+1)]-a1
2a1=0
a1=0
n≥2时，
Sn=(n-1)/[n(n+1)]-an
=(n-1)/[n(n+1)] -[Sn -S(n-1)]
=(n-1)/[n(n+1)] -Sn +S(n-1)
2Sn=S(n-1) +(n-1)/[n(n+1)]=S(n-1) + 2/(n+...
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n=1时，S1=a1=(1-1)/[1×(1+1)]-a1
2a1=0
a1=0
n≥2时，
Sn=(n-1)/[n(n+1)]-an
=(n-1)/[n(n+1)] -[Sn -S(n-1)]
=(n-1)/[n(n+1)] -Sn +S(n-1)
2Sn=S(n-1) +(n-1)/[n(n+1)]=S(n-1) + 2/(n+1) -1/n
2Sn -2/(n+1)=S(n-1) -1/n
[Sn -1/(n+1)]/[S(n-1) -1/n]=1/2，为定值。
S1 -1/(1+1)=a1- 1/2=0-1/2=-1/2
数列{Sn -1/(n+1)}是以-1/2为首项，1/2为公比的等比数列。
Sn -1/(n+1)=(-1/2)×(1/2)^(n-1)=-1/2ⁿ
Sn=1/(n+1) -1/2ⁿ
a5=S5-S4=1/(5+1) -1/2^5 -1/(4+1)+1/2^4
=1/6 -1/32 -1/5 +1/16
=-1/480
逐项求解太蠢了，本题可以求出Sn的表达式的，可以求数列任意项。出题者选最佳答案选得太快了也。
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